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第十一章 相关及回归分析 §1 相关与回归的意义 二、回归分析（regression analysis） 1．定义：研究一种变数受一种或一种以上变种的影响程度的统计分析方法。 四、回归相关分析中几个注意的问题 1．变数间是否存在相关，及在什么条件下发生什么样的相关，必须由各具体学科本身来决定。 2．研究一个事物（y）和另一个事物（x）的相关或回归关系，则要求其余事物的均匀性必须得到尽可能的严格控制 3．两个变数的成对观察值尽可能多一些，并且x取值范围尽可能大一些，一般应在10对以上观察值。 §2 直线回归 一、直线回归方程的建立 从上图中可以看出： 散点图直观地、定性地表示了两个变量之间的关系。 ①、两个变量间有关或无关;若有关,两个变量间关系类型，是直线型还是曲线型； ②、两个变量间直线关系的性质（是正相关还是负相关）和程度（是相关密切还是不密切） 1、直线回归方程： 在x、y直角坐标平面上可以作出无数 条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为回归直线。 用一个数学表达式来描述这条回归直线，这个数学表达式叫做回归方程。 2、回归方程的性质： ①、离回归和等于0。 即： 3、最小二乘法求参数a，b 根据第二个性质，用微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、b的一阶偏导数等于0 整理得正规方程： 二、回归方程的拟合步骤： 2、计算回归系数b 3、将计算的参数，b,a代入方程中得到拟合的方程。 三、回归关系的显著性测定 实际观察值y与估计值 的差异，就是回归误差 2．回归标准误的计算 3．回归关系的显著性检验（F检验）： 若x和y变量间并不存在直线关系， 但由n对观测值（xi，yi）也可以根据上面介绍的方法求得一个回归方程 =a +bx。 显然，这样的回归方程所反应的两个变量间的直线关系是不真实的。 如何判断直线回归方程所反应的两个变量间的直线关系的真实性呢？这取决于变量x与y间是否存在直线关系。我们先探讨依变量y的变异，然后再作出统计推断。 y 的总自由度: F检验的步骤： 离回归平方和计算公式为： 4、回归系数的显著性检验—t检验 ①建立无效假设 H0：β＝0 x与y不存在直线回归关系 ②选择α ③计算回归系数标准误 在以上分析中，主要要计算三个平方和 SPxy：乘积和： SSy：依变量平方和： SSx：自变量平方和: §3 直线相关 一、相关程度的表示 1．相关系数（coefficient of correlation）r： 表示两个变数相关的密切程度的统计量 2．相关的种类 r=±1 表示完全相关 r=0 表示不相关 r=+1 叫完全正相关 r=-1 叫完全负相关0﹤|r|﹤1 表示不完全相关 0﹤|r|﹤0.7 表示弱相关 0.7≤|r|1 表示强相关 二．相关系数计算 例9.1 相关系数计算 （P160） SSy=249.6 SSx=144.6 SPxy=-159.0 * * 一、相关( correlation analysis) 1．定义：研究两种或两种以上变数（事物）的相关变异的程度叫相关。 2．意义：相关分析只能研究两事物或两个以上事物之间相互关系及其相互影响的程度。而不能说明它们之间具有因素或依存关系。 3．相关分析的种类 直线相关；曲线相关。（简单相关）； （复相关） 2．意义：回归分析不仅研究事物间的关系，而且研 究事物之间的依存关系。因而可用一种事物（自变量x）去推测另一种事物（依变量）的变异规律。 3．回归分析的种类 直线回归 ； 曲线回归。（一元回归）；（多元回归） Sr：相关系数标准误 Sy/x：回归标准误 对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） x变量和y 变量散点图 其中：a、b为两个参数； 为依变量估计值。 其中：y为观察值； 为拟合方程的理论值 ②、离回归平方和最小。 ③、回归直线必须通过P（ ）坐标点 ， 即： 这种求正规方程的方法叫最小二乘法 解方程组得： 式中的分子是自变量x的离均差与依变量y 的离均差的乘积和， 分母是自变量x的离均差平方和， ，记作SSX。 简称乘积和，记作 ； a叫做样本回归截距，是回归直线与y轴交点的纵坐标，当x=0时， =a；b叫做样本回归系数，表示x改变一个单位，y平均改变的数量；b 的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小