2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案.docVIP

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 （高一年级） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．计算：sin210o+sin220o+sin230o+…+sin290o ? 5 ． 2．设等差数列﹛an﹜的前n项和为Sn，已知S12 21，则a3+a4+a9+a10＝____7____． 3．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PA﹙→﹚+PB﹙→﹚+2PC﹙→﹚ 3AB﹙→﹚，则△ABP与△ABC的面积之比为． 4．＝． 5．满足方程x2+8xsin﹙xy﹚+16 0（x∈R,y∈[0,2π﹚）的实数对﹙x,y﹚的个数为 8 ． 6．已知函数的定义域为（其中），值域为，则符合条件的数组为． 7．设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ． 8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. 又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故. 因此，的解析式为. （2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即. 注意到43是质数，且，，所以有解得 因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. 10．已知a,b∈R，关于x的方程x^4+ax^3+2x2+bx+1 0有一个实根，求a2+b2的最小值． 解 设为方程的实根，则有，即 . 显然. 容易证明，于是 . 当且仅当且时等号成立，此时，. 结合可求得或 因此的最小值为8. 11．已知数列满足.证明：对一切，有 （1）； （2）． 解 （1）显然，，所以（）. 所以，对一切，，所以. 所以，当时， ， 所以. 又，故对一切，有. 因此，对一切，有. （2）显然. 由，知，所以，所以 ， 所以， 所以，当且时， ， 所以. 2