误差和有效数字.pptVIP

试验设计与数据处理 材料科学与工程学院 误差与有效数字 误差的定义 误差传递 例1：计算某长方体体积。知其长、宽、高分别为20.20mm、10.40mm、5.00mm，如测试所用的刻度尺最小刻度为0.1mm，求该长方体体积的最大误差。 误差传递 例2：测量水泥密度。质量m用感量为0.1g的天平称量，体积V用感量为0.1cm3的比重瓶测量，如m=59.30g，V=19.73，求水泥的密度及最大相对误差和最大绝对误差。 第二章 有效数字 定义：观测值中有意义的数字。 有效数字的修约 有效数字的运算 在科学实验中，为了得到准确的测量结果，不仅要准确地测定各种数据，而是还要正确地记录和计算。分析结果的数值不仅表示试样中被测成分含量的多少，而且还反映了测定的准确程度。 所以，记录实验数据和计算结果应保留几位数字是一件很重要的事，不能随便增加或减少位数。例如用重量法测定硅酸盐中的SiO2时，若称取试样重为0.4538克，经过一系列处理后，灼烧得到SiO2沉淀重0.1374克，则其百分含量为： SiO2 % =(0.1374/0.4538)×100%＝30.277655354% 上述分析结果共有11位数字，从运算来讲，并无错误，但实际上用这样多位数的数字来表示上述分析结果是错误的，它没有反映客观事实，因为所用的分析方法和测量仪器不可能准确到这种程度。 那么在分析实验中记录和计算时，究竟要准确到什么程度，才符合客观事实呢？这就必须了解“有效数字”的意义。 有效数字的修约 有效数字的修约 通常的修约方法 四舍五入（不合理） 修约规则 修约到0，10 “四舍六入五成双” 修约到0，5 将原数字乘2，正常修约后除以2。 ≤2.5，舍为0；≥7.5进为10；2.5至7.5，进为5。 GB8170数字修约规则 有效数字运算规则 加减：结果小数点后数字位数，与参与运算的数字中小数点后位数最少的那个数字相同。 乘、除、成幂、开方：结果的有效数字数字位数，与参与运算的数字中有效数字位数最少的那个数字相同。 对数：与真数有效数字位数相同。 常数：比最终运算结果多一位 先修约后运算，修约结果比最终结果多一位。 当几个数据相加或相减时、它们的和或差的有效数字的保留，应以小数点后位效最少 即绝对误差最大的的数据为依据。 例如0.0121、25.64及1.05782三数相加 若各数最后一位为可疑数字，则25.64中的4已是可疑数字。 因此，三数相加后，第二位小数已属可疑，其余两个数据可按规则进行修约、整理到只保留两位小数。 几个数据相乘除时，积或商的有效数字的保留，应以其中相对误差最大的那个数，即有效数字位数最少的那个数为依据。 例如求0.0121、25.64和1.05782三数相乘之积。设此三数的最后一位数字为可疑数字，且最后一位数字都有±1的绝对误差，则它们的相对误差分别为： 0.0121：±1/121×1000‰＝±8‰ 25.64： ±1/2564×1000‰＝±0.4‰ 1.05782：±1/105782×1000‰＝±0.009‰ 第一个数是三位有效数字，其相对误差最大，以此数据为依据，确定其他数据的位数，即按规则将各数都保留三位有效数字然后相乘。 例：某工地现场验收石子量，石子堆成圆锥形，测得其堆高为10.20米，底边周长为72.45米，石子堆积密度为1.640t/m3，求这堆石子的质量。 如果砂子质量3.2×103t，求砂石总量。 解： 交换法----在测量中将引起系统误差的某些 条件（如被测物的位置）相互交换，而保持 其它条件不变，使产生系统误差的因素对测 量起相反的作用，取两次测量的平均值作为 测量结果，以消除系统误差。 例如：用等臂天平称某物重量。 (2)周期性变化的系统误差消除法： 可用半周期读数法： 设误差为周期性变化，经过1800后，误差变 号，利用此特点，每隔半 个周期进行一次测量，取 两次读数的平均值作为 测值，即可消除周期性 误差。 0 U n 周期性系统误差 需要准确确定误差的周期。 3.2 随机误差分析方法 1. 随机误差的统计特性 就随机误差个体而言，其大小和方向都无法 预测，但就随机误差的总体而言，都具有统计 规律。 在检测系统中，绝大多数随机误差近似服从正态分布。 P ? 0 P--随机误差的概率密度 ? ---- 随机误差 2. 随机误差的估计 问题:用算术平均值作为真值的近似值，误差 有多大?-----对随机误差的估计 均方根估计最适合服从正态分布的随机误差的估计。 (1)测量列的均方根误差 设测量列为x1,x2,…..,xN。列均方根误差为： 反映测量列的离散 程度，从而