数值分析与计算方法 第六章 向量范数和矩阵范数.ppt

在很多实际问题中，我们需要对向量和矩阵的大小引进度量，这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数 约定：用 表示所有 n 维实的列向量 的实线性空间。 在 上引入向量范数的定义如下： 定义6.2： 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ，它满足如下的三个条件： 6.6 向量范数和矩阵范数 （1）||x||?0，||x||=0当且仅当x=0，(非负性) （2）对任意实数 ? ，|| ? x||=| ? | ||x||，(齐次性) （3）对任意向量 y?Rn，||x+y||?||x||+||y||，(三角不等性)。 称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x 的范数。 例如，下面的函数就是向量的一种范数： 这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。 常用的范数是： 按上述定义，常用范数： 例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 ， ， 。 解： 范数的两个常用性质： 此性质也称为向量范数的等价关系，可以证明三种常用范数 是相互等价的。 定义6.4 (向量序列收敛)： 定理6.4 (向量序列收敛的必要充分条件)： 6.6.2 矩阵范数 约定 记 表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。 定义6.4： 上的一个矩阵范数是定义在 上的某个实值函数 ,对所有的 A, B ,它满足以下四个条件： 矩阵 A 的F-范数： 矩阵 A 的算子范数(定义6.5)： 算子范数与其相应的向量范数满足的关系式 是一种矩阵范数 依赖于向量范数的含义 是一种矩阵 范数 相容性条件： 用于误差估计 常用矩阵范数有下面三种情形： 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 矩阵 A 的谱半径(定义6.6)： 定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系 证明： 定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6 (矩阵序列收敛)： 定理6.7 (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价： 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数) 6.7 误差分析 2、条件数的性质 3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论： 设 * * * * * * * * * * * * * * * * * *