NA004b数值求积.ppt

形如 的求积公式，若其代数精度为 2n+1，则称其为高斯--切比雪夫求积公式 （Gauss-Chebyshev ）求积公式 高斯--切比雪夫 ? 例 求形如 的两点Gauss型求积公式。 解：由于节点必是区间[－1，1]上带权 的二次正交 多项式的零点，这个正交多项式就是二次切比雪夫多项式 故零点为 由该公式对 都准确成立，可得 应满足的方程组 即所求公式为 一般地，利用n+1次切比雪夫多项式 的零点 可以得到n+1点的Gauss型求积公式: 例 计算积分 这时 于是有 解 选用 的Gauss-Chebyshev求积公式计算，即 （2）由求积公式对 次多项式 也准确成立知 §5 Gaussian Quadrature Gauss型求积公式稳定性与收敛性 ? （1）由求积公式对函数 准确成立知 高斯求积公式的系数具有下列特点： 故知Gauss型求积公式是稳定的。 关于收敛性，只指出结论：若 在区间[a, b]上连 续，那么当 时，Gauss型求积公式 收敛到积 分值 。 稳定性 收敛性 高斯点往往是无理数，数据必然有误差，数值计算过程是否稳定？ §4 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 HW: p.122-123, #9,10,11,12 §3 复化求积 /* Composite Quadrature */ 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。 ? 复化梯形公式： 在每个 上用梯形公式： = Tn /*中值定理*/ §3 Composite Quadrature ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有 例 对于函数 ，利用下表计算积分 0.8414709 0.8771925 0.9088516 0.9361556 0.9588510 0.9767267 0.9896158 0.9973978 解 将积分区间[0，1]划分为8等份， 应用复化梯形法求得 将区间[0，1]划分为4等份，应用复化辛普森法求得 两种算法计算量基本相同，但精度却差别很大，同准确值 比较复化梯形法的结果只有两位有效数字，而复化辛普森法的结果有六位有效数字。 §3 Composite Quadrature 解： 在区间[0，1]上， 例 分别用复化梯形公式与复化辛普森公式计算积分 的近似值，要求其截断误差小于等于 ，问各需取多少个节点? 由此得： ，取 ，则 需取 个节点。 用复化辛普森公式，有 则 由此可知 ，取 ，则只需 取 个节点。 §3 Composite Quadrature 用复化梯形公式求积时，有 §3 Composite Quadrature ? 收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 §3 Composite Quadrature Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 ，如何判断 n = ？ ? 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k ? 409 ? k = 9 时，T512 = 3 S4 =