9第九章课堂练习题.ppt

* * 第九章课堂练习题 上页 下页 返回 上页 下页 返回 一. 单项选择题 1. 设A是欧几里得空间V关于基ε1,ε2, …,εn的度量矩阵，ε1,ε2, …,εn是标准正交基的充分必要条件是 ( ). B (A) A是正交矩阵; (B) A是单位矩阵; (C) A是对称矩阵; (D) A是可逆矩阵. 因为((εi,εj))=E. 上页 下页 返回 B 2. 和矩阵 正交相似的矩阵为( ). (A) (B) (C) (D) (与实对称矩阵正交相似的只能是实对称矩阵，且特征值均相同.) 上页 下页 返回 A 3. 设A是n级实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是 ( ). (A) 矩阵A的列向量组是Rn的标准正交基; (B) A-1=A; (C) |A|=±1; (D) 矩阵A的列向量两两正交. 上页 下页 返回 B 4. 两个n级实对称矩阵A与B相似的充分必要条件是 ( ). (A) A与B合同； (B) A与B的特征多项式相同； (C) A与B的特征值相同，且两两不等； (D) A与B皆为正交矩阵. 上页 下页 返回 C 5. 设A是n维欧几里得空间V上的线性变换， A在基ε1,ε2, …,εn下的矩阵为对称矩阵，则 ( ). (A) A为对称变换； (B) A为可逆变换； (C) 当ε1,ε2, …,εn为标准正交基时，A为对称变换； (D) A为正交变换. 上页 下页 返回 二. 填空题 1. 对欧几里得空间V中的向量α,β，有 |(α,β)|≤|α||β| 而且等号成立当且仅当 . α,β线性相关 2. 设ε1, ε2是2维欧几里得空间V中的一组标准正交基，α∈V，且(α,ε1)=1,(α,ε2)=2, 则α= . (α,ε1)ε1+(α,ε2)ε2=ε1+2ε2 上页 下页 返回 3. 已知3维欧氏空间中有一组基α1, α2, α3，其度量矩阵为 向量β=2α1+3α2-α3，则|β|2= . 13 (因为|β|2=(β, β)=XTAX =13, X=(2,3,-1)T ) 上页 下页 返回 4. 设向量组ε1,ε2, …εn是n维欧几里得空间V的一组标准正交基，A为V上的线性变换，且 A(ε1,ε2, …,εn)=(ε1,ε2, …,εn)A ， Aε1, Aε2, …,Aεn也是V的标准正交基的充分必要条件是A为 . 5. 设A为实对称矩阵，且Ak=0, k为某一正整数，则A= . 0 (因A的特征值均为0，且相似于对角阵，故A=0.) 正交矩阵 上页 下页 返回 三.设A为n级实矩阵，β∈Rn. 证明：实系数线性方程组AX=β有解的充分必要条件是β与线性方程组ATX=0的解空间正交(通常内积定义下). 证明设W为方程组ATX=0的解空间,A=(α1,…,αn)， 则L(α1,…,αn)=W⊥ ， 而线性方程组AX=β有解的充分必要条件是 β=k1α1+…+ knαn 即当且仅当β⊥W. 命题得证. 证毕.