2.状态法基础.pptVIP

* 对于任意给定的输入u(t) ，如果能在有限的时间区间[ t0, t1]内，根据输出y(t) 的量测值唯一地确定系统的初始状态x(t0) ，则称系统是可观测的。 状态可观测性定义： * 线性定常系统的可观测性判据 Qo ：可观测 性判别阵 D = 0 根据Cayley-Hamilton定理 下标o代表 Observability。 * 结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为 说明： * - u(t) R1 R2 C2 + - + y x1 + + - - x2 C1 R1 C1 ≠ R2 C2 ? 可观测 R1 C1 = R2 C2 ? 不可观测 重新讨论前面的例： 同可控性条件 * Kalman问题：如图所示系统是否可观测？ u(t) R1 R2 L + - y x1 + - x2 C R1 R2 C ≠ L ? 可观测 R1 R2 C = L ? 不可观测 同可控性条件 * 注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性 设变换关系为 即变换前后的可控性判别阵同秩 则变换后的可控性判别阵为 可观测性的情况类似（自证） 直观理解？ * 对偶性原理 * 六、可控性、可观测性与传递函数 * 可控性判别阵为 显然满秩，系统状态可控。 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可控标准形的系统一定是状态可控的。 * 可观测性判别阵为 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可观测标准形的系统一定是状态可观测的。 * 可观测标准型的一般表达式 为可控标准形的对偶实现 * 传递函数零极点与可控、可观性 状态可控 * 可控标准形实现的可观测性判别阵为 上述结论可推广到一般情况，系统存在零极点对消时，按可控标准形实现的系统虽然是状态完全可控的，但不完全可观测；没有零极点对消时则既可控又可观测。 所以当系统零点与极点相同时，状态不完全可观测，反之则完全可观测。 * 状态 可观测 所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。 对应的可控性判别阵为 按可控标准形实现的 可观测性判别阵 * 系统极点为-1、-2、-3，有零极点对消。 所以系统状态不可观测。 状态可控 * 所以系统状态不可控。 状态 可观测 * 结论 系统传递函数有零极点对消时，系统状态一定是或者不可控、或者不可观测、或者既不可控又不可观测，具体取决于状态变量的选择。 系统传递函数没有零极点对消时，系统状态一定是既可控又可观测的。 * 练习 B7.1（1），（3）； （只用秩判据） B7.4（1），（3）； B7.7（1） * “状态空间法1”习题汇总 B2.24(1), (2)；B2.25； B2.26; B2.27 B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7 B7.1（1）,（3）； B7.4（1）,（3）；B7.7（1） * * 实际系统的阶数取决于独立储能元件的个数，一般 阶数=个数（有例外），如上例。如没有电感或电容，则为一阶；两者都没有，则为零阶。 * （2）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形） 其特征值为λ1=2，λ2 =λ3 = 1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。 解： 设属于λ1的特征向量为P1 * P3×常量不再是特征向量 取p13=1 * 三、状态空间描述下的运动分析 * 零输入响应 零状态响应（卷积） 先考虑最简单的情况 * 1. 齐次状态方程的解 模仿单变量方程的求解 * 2. 状态转移矩阵的性质（自证） 分段转移特性 类似（3） 求逆容易 * 3. 状态转移矩阵的计算 ①　拉氏变换法 * ②　对角标准形法 设矩阵 A 的特征值相异，对角变换为 * 解：1）用拉氏变换法计算 * 2）利用对角形变换法计算 * 4. 非齐次状态方程的解 * * 参考前面的例 * 练习B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7 * 四、状态可控性 问题：状态变量能否通过输入 u 任意改变？ 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D * 显然，通过 u 可以控制状态变量 iL，但不能控制 uc，所以系统是不完全可控的。 * 虽然 u不能直接控制 uc，但可以通过控制 iL 来间接影响uc， 可以证明系统是完全可控的。 * 可控性定义 为何不研究输出y(t)是否可控？ * - u(t) R1 R2 C2 + - + y x1 + + - - x2 C1 可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可控（直观解释？）; 但 R1 C1 ≠ R2 C2 时系统完全可控。 * u(t) R1 R2 L + - y x1 + - x2