复变函数论第2章第3节.pptVIP

5 具有多个有限支点的情形 例 5 解 (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) 例 6 解 解法一 解法二 例 7 解 6 反三角函数与反双曲函数 本段将简要介绍反三角函数与反双曲函数, 它们分别是三角函数与双曲函数的反函数. 由于三角函数与双曲函数均可由指数函数表示, 所以反三角函数与反双曲函数经常用对数函数来表示. (1) 反三角函数 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: (2) 反双曲函数 同理可得 反三角函数与反双曲函数都是多值函数 . 这些函数分成单值解析分支的方法, 与对对数函数的讨论方法相类似, 也要讨论它们的支点. 这些函数分支都在适当割破平面后的区域内单值解析. 例 8 解 例 9 解 作业： 通过上面的分析可知, 在函数 的支点 或 的某邻域内, 当 沿一条包围该点的连续闭曲线绕行一周回到原处时, 函数值将发生变化. 注 1： 注 2： 注 3： 例1 解： 3 对数函数 定义2.10 (1) 复对数的定义 特殊地, 例2 解 注意: 在实变函数中 “负数无对数”的说法, 在复变函数中不再成立, 但可改为“负数无实对数, 且正实数的对数也是无穷多值的”. (2) 对数函数的基本性质 单值函数 4 一般幂函数与一般指数函数 定义2.11 定义2.12 例 3 解 练习 例 4 解 §3 初等多值函数 2、根式函数 3、对数函数 4、一般幂函数与一般指数函数 5、具有多个有限支点的情形 6、反三角函数和反双曲函数 1、辐角函数 本节将要看到, 许多复变量的初等函数都是多值的, 在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要的意义. 因为只有在这样的讨论中才能看出函数多值性的本质. 函数多值性源于辐角函数的多值性. 本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的映射性质; 主要是采用限制辐角或割破平面的方法, 来分出根式函数与对数函数的单值解析分支. 最后, 对反三角函数及一般幂函数作简单介绍. 根据今后研究问题的需要，先介绍辐角函数，对理解辐角多值性是有益的. 1 辐角函数 一般说来，尽管起点和终点相同，但若曲线不同，其辐角改变量也不尽相同，它们要相差2π. 定义2.8 为了后面讨论问题的需要，先给出如下定义. 2 根式函数 定义2.9 (1)幂函数的变换(映射)性质及其单叶性区域 (2)分出 的单值解析分支 定义 (3) 的支点及支割线