湖南工业大学复变函数与积分变换第六章介绍.ppt

* * §6.1 共形映射 1. 共形映射的概念 设w=f(z)为z平面上区域D内的连续函数，作为映射，它把z平面上的点z0映射到w平面上的点w0=f(z0)，把曲线C:z=z(t)映射到曲线C:w=f(z(t)). 过z0点的两条曲线C1,C2，它们在交点z0处的切线分别为T1，T2，我们把从T1到T2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z0处 从C1到C2的夹角. (1)若在映射w=f(z)的作用下，过点z0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z0处是保角的. 平移变换w=z+?是一个保角映射. 函数 不是保角映射. 它是关于实轴的对称映射. 原象的伸缩性:象点之间距离与原象点之间距离的比值 . (2)若极限 存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性. 定义6.1 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射. z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A. 经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2. 2. 解析函数与共形映射 设f(z)在z0处解析，且f(z0)≠0. 过z0作一条光滑曲线C，它的方程为 z=z(t), t0≤t≤T0, 并设z0=z(t0)，且z(t0)≠0.则Argz(t0)为z平面上的正实轴到C在点z0的切线的夹角. 经过w=f(z)把C映射为w平面上光滑曲线C，其方程为 w=w(t)=f[z(t)], t0≤t≤T0. 且w0=f[z(t0)]. 由于w(t0)=f(z0)z(t0)≠0，所以在w平面上，正实轴到C在w0处的切线的夹角为 Argw(t0)=Argf(z0)+Argz(t0) 或 Argw(t0)-Argz(t0)=Argf(z0). 像曲线C在w0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C在z0处的切线与正实轴的夹角之差总是Argf(z0)，而与曲线C无关. Argf(z0)就称为映射w=f(z)在点z0处的转动角. 过z0点作两条光滑曲线C1,C2，它们的方程分别为 C1: z=z1(t) t0≤t≤T, C2: z=z2(t) t0≤t≤T. 且z1(t0)=z2(t0)=z0 . 映射w=f(z)把它们分别映为过w0点的两点光滑曲线C1和C2. 它们的方程分别为 C1: w=w1(t)=f[z1(t)], t0≤t≤T0, C2: w=w2(t)=f[z2(t)], t0≤t≤T0. Argw1(t0)-Argz1(t0)=Argf(z0)=Argw2(t0)-Argz2(t0), 即 Argz2(t0)-Argz1(t0)=Argw2(t0)-Argw1(t0). 上式左端是曲线C1和C2在z0处的夹角，右端是曲线C1和C2在w0处的夹角，而这个式子说明了w=f(z)在z0处是保角的. 因为f(z0)存在，且不等于零，则 这个极限与曲线C无关.故w=f(z)在z0处的伸缩率具有不变性. w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因为w=f(z)在z0处解析，则在该点满足柯西－黎曼方程 在该点的雅各比式有 映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的. 定理6.1　如果函数w=f(z)在z0解析，且f(z0)≠0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf(z0)表示这个映射在z0的转动角，|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在区域D内处处有f(z)≠0,那么 映射w=f(z)是D内的共形映射. §6.2　分式线性变换 1.分式线性变换的结构 形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数. 逆变换 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 其中 它由下列三个变换复合而成 2.分式线性变换的性质 (1)共形性 函数 的导数除点 和z=∞以外处处存在，而且 ，映射 除那两个点以外是共形的. 定理6.2　分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的