2016年教师资格考试《高中数学学科知识》专项试题1.docVIP

2016年教师资格考试《高中数学学科知识》专项试题1 练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 [答案：当x＜1时，F(x)=0; 当1≤x＜2时，F(x)=0.2;  当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1 四、二维连续型随机向量 （1）联合概率密度与联合分布函数；（2）； （3）在取值的概率。 解:（1）依题知 所以联合概率密度为 当时，有 所以联合分布函数 （2）； （3） 练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是 求：（1）关于X的边缘密度函数f X(x)；（2）P{X≥50，Y≥50} 五、二维离散型随机向量 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 [ 答案： ] 六、协差矩阵 例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为 计算随机向量（X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV（X＋Y, X－Y）=DX-DY=-5 故（X＋Y, X－Y）的协差矩阵 练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 计算随机向量（9X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页33题） 解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2 E(X－Y)= EX－E Y＝μ1－μ2 D(9X＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22 D(X－Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22 COV（9X＋Y, X－Y）=9DX-DY－8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22 然后写出它们的矩阵形式（略） 七、随机变量函数的密度函数 例：设X?U(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。  [答案 填：]解：X?U(0,2) ， ， 求导出= （） 练习：设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。[答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.] 八、中心极限定理 例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。（同步46页四、1） 解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64, 由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64) P{60X100}=P{-2.5(X-80)/82.5}=2φ(2.5)－1＝0.9876 练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课本117页41题） 九、最大似然估计 例：设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。 例：设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。（同步39页三、3）解：由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。 练习：设总体X的密度函数为 X1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5） 十、区间估计 X服从正态分布N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn为X的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间 2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间 2置信度为1-α的置信区间 例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下： 。求该校女生平均身高的95％的置信区间。 解： ,由样本数据得 查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为 例：从总体X服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。 解：因为,所以的95%的置信区间为: , 其中S2＝0.07, ,所以= =（0.033,0.233） 例：已知某种