第2章第3讲函数的奇偶性与周期性学案.ppt

必威体育精装版考纲　1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 知 识 梳 理 1．函数的奇偶性 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是_______，两个奇函数的积函数是_______． ②两个偶函数的和函数、积函数是_______． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是_______． 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝____，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中________ ____的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 (　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析　依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错． 答案　C 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于 (　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案　A 5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________. 解析　当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)． 答案　x(1－x) 规律方法　判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 即f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案　(1)A　(2)奇函数　非奇非偶 规律方法　函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 考点三　函数性质的综合应用 例3 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 (　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析　(1)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(