第五讲函数的奇偶性与周期性试题.doc

第讲 函数的奇偶性与周期性 必威体育精装版考纲　1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义会判断、应用简单函数的周期性． 知 识 梳 理 函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的x，都有那么函数f(x)是偶函数 关于对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有那么函数f(x)是奇函数 关于对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是两个奇函数的积函数是． 两个偶函数的和函数、积函数是． 一个奇函数一个偶函数的积函数是． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义则f(0)＝0. 周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)如果存在一个非零常数T使得当x取定义域内的任何值时都有f(x＋T)＝)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩展示 (1)函数y＝x(0，＋∞)是偶函数．() (2)偶函数图象不一定过原点奇函数的图象一定过原点．() (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．() (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)则(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．() (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数则函数y＝f(x)关于点(b)中心对称．() 2．(2014·太原模拟)下列函数中既是偶函数又在(0＋∞)上单调递增的函数是(　　) ＝x＝|x|＋1＝|＝ (2014·新设函数f(x)(x)的定义域都为R且f(x)是奇函数(x)是偶函数则下列结论中正确的是(　　) (x)g(x)是偶函数 ．(x)|g(x)是奇函数 (x)|g(x)|是奇函数 ．(x)g(x)|是奇函数 已知f(x)在R上是奇函数且满足f(x＋4)＝f(x)当(0，2)时(x)＝2x则f(2 015)等于(　　) －2 ．－98 ． 5．(人教必修1改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数当x≥0时(x)＝x(1＋x)则x＜0时(x)＝________ 考点一　函数奇偶性的判断及其应用 1. 定义在R上的两个函数中，为偶函数，为奇函数，，则____________ 变式：定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为______ 结论：任意一个定义在R上的函数均可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 教材P52 7 已知是一个定义在上的函数，求证： （i）是偶函数； （ii）是奇函数. 变式：将分解为一个奇函数和一个偶函数之和. 【例1】 (1)(2013·辽宁卷)已知函数f(x)＝(－3x)＋1则f()＋＝(　　) －1 ． (2)判断下列函数的奇偶性： (x)＝x(x＋)；(x)＝(1－x)；(x)＝(x)＝ ⑥ ⑦ ⑧ (3)若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值． 2. 函数是定义在上的偶函数，则_________________ 3. 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 =______ 4. 已知函数f(x)=为奇函数，则m的值等于_____ 变式：函数为奇函数，则实数的取值集合为_____ 5. 函数，函数，则F(x)= 的奇偶性为 函数. 思考：和函数与积函数的奇偶性有何规律？ 【训练1】 (1)(2015·郑州质量预测)下列函数中既是偶函数又在区间(1)上单调递增的是(　　) ＝＝＝＝ (2)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数则实数k＝________． (2013年江西重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))0，则(　　) A．f(3)f(－2)f(1) B．f(1)f(－2)f(3) C．f(－2)f(1)f(3) D．f(3)f(1)f(－2) [例2]　(1)(2012年高考上海卷)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________. (2)(2013年皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________． (3) 例3