积分变换第一章课件1.pptVIP

引言 一、 Fourier级数 一、Fourier级数 1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的定理，奠定了Fourier级数的理论基础. 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在 上满足Dirichlet条件, 即在区间 上满足:  练习: 3. Fourier积分公式的三角形式 Fourier积分公式的三角形式 3. Fourier积分公式的三角形式 当 为奇函数时,利用三角函数的和差公式,有 3. Fourier积分公式的三角形式 由于 为奇函数,则 和 分别是关于 的奇函数和偶函数,因此 Fourier正弦积分公式 当 为偶函数时,同理可得 Fourier余弦积分公式 4. Fourier正弦和余弦积分公式 特别地,如果 仅在 上有定 义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我 们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶 延拓的方法,得到 相应的Fourier正弦积分 展开式或Fourier余弦积分展开式. 注意: * 第*页 积分变换 主页 上一页 下一页 退出 积分变换 第*页 * 在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取变换手段 两个数相乘 对数变换 坐标变换 有割痕的半平面--映射 积分变换是指通过积分运算，把一个 函数变成另一个函数的变换。 积分变换在一定条件下是一一对应的， 其中一个最主要的应用就是解微分方程。 基本思想：从原方程中求解非常困难， 但通过积分变换后的函数比较容易求解，这 样再通过积分逆变换求出原方程的解。 最常用的积分变换是：Fourier变换; Laplace变换. 一、Fourier级数 二、Fourier积分定理 三、小结 傅里叶(1768—1830) 法国数学家 J．B．J．Fourier 1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和. 1822年， Fourier在研究热传导理论时发表了《热的解析理论》，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理. 狄利克雷（1805－1859） 德国数学家 P. G. L. Dirichlet 1. Fourier级数展开 1) 连续或只有有限个第一类间断点; 2) 只有有限个极值点. 则在区间 可以展开成Fourier级数. 在fT(t)的连续点处, 级数的三角形式如下: 2.Fourier级数的三角形式 即 2.Fourier级数的三角形式 1) 级数复指数表示形式: 2.Fourier级数的三角形式 1)级数复指数表示形式 系数的确定 1)级数复指数表示形式 若令 (n=0,?1,?2, … ), 级数的复指数表示 1) 级数复指数表示形式 1)级数复指数表示形式 1)级数复指数表示形式 即 2)级数正弦和余弦表示形式 级数正弦表示形式: 级数余弦表示形式 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T?+?时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t),使其在 之内等于f(t), 而在 之外按周期T延拓到整个数轴上,显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T?+?时 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有 二、Fourier积分定理 1)Fourier积分公式 1) Fourier积分公式 1. Fourier积分公式 1. Fourier积分公式 1. Fourier积分公式 1. Fourier积分公式 1. Fourier积分公式 Fourier积分公式 1). Fourier积分公式 若 f(t) 在(-?, +?)上满足下列条件:1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(t) 在无限区间(-?, +?)上绝对可积.则有 2. Fourier积分定理 一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理. 定理: Fourier积分公式的复数形式 2. Fourier积分定理 2. Fourier积分定理