1.4：条件概率详解.ppt

* 一、条件概率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念,它所考虑的 是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 设 A、B是某随机试验中的两个事件, 且 则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在 事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率,简称为 B在 A之下的条件概率, 记为 §1.4 条件概率 上页 下页 返回 例1: 盒中有4个外形相同的球, 它们的标号分别 为1、2、 3、4, 每次从盒中取出一球, 有放回地取两次,则该试验的 所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i, j)表示第一次取 i号球,第二次取 j号球. 设 A = { 第一次取出球的标号为 2 }, B = { 取出的两球标号之和为 4 }, 上页 下页 返回 因此事件B的概率为: 事件B 所含的样本点为 (1,3) (2,2) (3,1), 若我们考虑在事件 A发生的条件下, 事件B发生的概率, 并记此概率为: 由于已知事件A已经发生, 则该试验的所有可能结果 为 (2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4). 这时, 事件B是在事件A已经发生的条件下的概率,因此所求的概率为 由例1可以看出, 事件B 在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与不附加这个条件的概率是不同的．因此, 引入下面的定义 注: 上页 下页 返回 1. 定义: 设A、B是某随机试验中的两个事件, 则 还可求得 故有 且 在例1中, 我们已求得 称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率, 简称为B在 A之下的条件概率. 上页 下页 返回 2. 条件概率的性质: 上页 下页 返回 3. 条件概率 P(B|A) 的计算： 1) 在缩减的样本空间SA中计算; 2) 在原样本空间S中, 用定义计算. 证: 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例2: 设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球,在新乒乓球中 有白球40只,红球30只;旧乒乓球中有白球20只,红球10只, 现任取一球发现是新的,问这球是白色的概率是多少? 解: 设 W = “取到白球”, N = “取到新球”, (1) 在缩减的样本空间 S N中考虑: (2) 在 S 中考虑, 用公式求: 1. 概率的乘法公式 由条件概率的计算公式 我们得 这就是两个事件的乘法公式． 二、有关条件概率三个定理 或 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3: 设在一只盒子中有10张彩票，其中3张有奖，甲，乙两人先后各从中抽取一张，以A、B分别表示甲、乙中奖事件，求 （1）甲中奖的概率；（2）乙中奖的概率； （3）甲中奖的条件下，乙也中奖的概率 解: （1）由古典概率可得： （2）由于 且 所以 （3）由条件概率得 上页 下页 返回 例4: 设某商店出售盒装的电子元件，每盒装有100只.已知每盒中有4只不合格品，商家采用“坏一赔十”的销售方式，即顾客在购买时，从一盒元件中任取一只检测，若是不合格品，则商家收回不合格品，并立即另给10只合格品.顾客在盒中随机的先后取出3只测试，试求 （1）发现一只不合格品的概率； （2）取出的3只都是不合格品的概率. 解: 设Ai = “在第i次测试时发现是不合格品” B = “发现一只是不合格品” (1)由题意可知： 上页 下页 返回 （2）设C =“顾客取出的3只都是不合格品“ 故 由题意得 例5: 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破 的概率为 1/2 , 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为 9/10. 求透镜落下三次而未打破的概率. 解: 以 A i ( i =1,2,3 ) 表示事件 “ 透镜第 i 次落下打破” 以 B 表示事件 “ 透镜落下三次而未打 破” , 有 上页 下页 返回 2. 全概率公式 定义: 设 S 为试验 E 的样本空间, 为 E 的一组事件. 若满足 则称 为样本 空间 S 的一个划分. S A1 A2 An … … 上页 下页 返回 设随机事件组 定理(全概率公式): 则有 证: 所以由概率的可列可加性, 得 B1 B2 Bn … AB1 AB2 … ABn S … … 上页 下页 返回 为S的一个划分, 且 证毕. 我们把事件A看作某一过程的结