电动力学17解释.ppt

* §3.3 磁多极矩 1. 矢势的多极展开 本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式. 给定电流分布在空间中激发的磁场的矢势为 (3.1) 如果电流分布于小区域V内,而场点 又距离该区域比较远,可以把 作多极展开.取区域内某点O为坐标原点,把 的展开式[第二章(6.2)式]代入(3.1)式得 (3.2) 展开式的第一项为 由恒定电流的连续性,可以把电流分为许多闭合的流管.对一个流管来说, I 为在该流管内流过的电流.因此有 (3.3) 此式表示磁场展开式不含磁单极项. 展开式(3.2)的第二项为 (3.4) 先就一个闭合线圈的情形来计算上式.若线圈电流为I,有 (3.5) 在被积式中, 为固定矢量,与积分变量无关.由于 为线圈上各点的坐标,因此 .利用全微分绕闭合回路的线积分等于零,得 因此 的表示式(3.5)可以写为 (3.6) 式中 (3.7) 称为电流线圈的磁矩.对体电流分布,把 得磁矩 (3.8) 对于一个小线圈,设它所围的面元为 ,有 因此 (3.9) 2. 磁偶极矩的场和磁标势 由(3.6)式可算出磁偶极矩的磁场 由于当 时有 因此 (3.10) 在电流分布以外的空间中,磁场应该可以用标势描述,因此把上式化为磁标势的梯度形式.由于 为常矢量,由附录(I.23式), (式中利用了 的无旋性).最后得 (3.11) (3.12) 一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S上许多小电流线圈组合而成,因此它的总磁偶极矩为 (3.13) 式中S是线圈所围的某一个曲面,这曲面不是唯一确定的. 为使上式有意义, 应不依赖于曲面的选取.事实上,设 和 为两个以该线圈为边界的曲线,则 和 (负号表示取法线方向相反)合起来成为闭合曲面,因而有 即 因此,这两曲面给出相同的 值. 更高级的磁多极矩较少用到,不再讨论. 3.小区域内电流分布在外磁场中的能量 设外磁场 的矢势为 ,由(1.22)式,电流分布 在外磁场中的相互作用能量为 (3.14) 载电流 I 的线圈在外磁场中的能量为 (3.15) 其中 为外磁场对线圈L的磁通量.取坐标系原点在线圈所在区域内适当点上. 若区域线度远小于磁场发生显著变化的线度,则可以把 在原点邻域上展开, 代入(3.15)式得 (3.16) 和电偶极子在外电场中的能量 对比[第二章(6.25)式],相差一个负号.这是否意味着磁偶极子受外磁场作用时将会趋向于与外磁场反向呢?事实不是这样.因为(3.16)式是在假设线圈上的电流 I 以及产生外磁场的电流都不变的条件下导出的.为了详细的分析这一问题,设外场由另一带有电流 的线圈 产生.把相互作用能写为形式[见(1.21)式] (3.17) 其中 为线圈L上的电流产生的磁场对线圈 的通量.当线圈运动时,若保持电流 和 不变,则磁能的改变为 (3.18) 但是,由于磁通量改变,在线圈上产生感应电动势,它对电流作功,就会改变 和 的值.为了保持 和 不变,必须由电源提供能量,以抵抗感应电动势所作的功.在线圈 和 上的感应电动势分别为 在时间 内感应电动势所作的功为 电源为抵抗此感应电动势必须提供能量 (3.19) *