数学论文《主元思想在函数和方程中的应用》.docVIP

主元思想在函数和方程中的应用 主元思想即是在解决复杂问题的过程中，区分主次，抓住问题的要害，将复杂问题简单化． 1．若，，则的最大值为 ． 解　令，将看成主元，看成常数， 当时，；当时， 是关于的一次递增函数，最大值为，再由，可求得的最大值为． 2．若是实常数，则直线与圆的公共点的个数为 ． 解　将看成主元,看成常数；则直线方程可化成关于的方程，当且仅当时，方程恒成立；所以直线恒过定点，而定点在圆内，故直线与圆一定相交，即它们有两个公共点． 注：研究曲线的位置关系时，如果曲线有过定点等特殊性质，一般用这些性质解题会比较简便． 3．求证：对任意不等于的实数，关于的方程 必定存在与无关的实数解． 分析：事实上本题所给的方程是圆系方程，要证明该圆系方程存在与无关的实数解，即是要证明该圆系过与无关的定点，若设定点为，则方程中均为常数；为了方便起见，我们直接用表示定值就行了，也就是说，这里的可以看成已知的定值，因此，自然就可以把看成主元了． 解　原方程可化成，设该方程所表示的圆系过定点，由于上式对一切且都成立，故，解得或，因此，该圆系过定点和． 故关于的方程存在与无关的两组实数解和． 注：（1）本题还可选用特殊值求解，再验证；既然对一切且都成立，取和，联立得，解得或再验证该圆系过定点和就行了； （2）如果感觉符号太抽象，不如改为过定点． 在一个含有两个或两个以上字母的数学问题中，我们往往要选取其中一个作为主元，而其余的为辅元．有时选取的主元可能不止一个，如向量中基底的选取，我们选取的基底通常是互相垂直的（以便于计算，有时要建立坐标系）或与其他向量联系较密切的；又如等差数列中我们可选取首项和公差为主元，也可选取首末两项为主元等等． 1