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第二章 随机变数及其分布函数 * * 2）(P70第22题）证明恒等式（其中Aa均为正整数） 6 利用概率论的想法证明恒等式 证 设一袋中共有 n 只球，其中m只红球，n-m 只黑球， 现从袋中任取 r 只球，以Ak表示所取 r 只球中有 k 只 红球，则 移项即得证。 1）(P68第4(1)题） 7 袋中装有 m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的 两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷 r 次， 已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？ 解：设 B1，B2，分别表示正品、次品， A 表示“投掷r次全是国徽”。 由贝叶斯公式 □ 8 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名 表,其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机取一 个地区的报名表,从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p ; (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生 表的概率 q 。 (1998年数学3) □ 9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的概率为 p， 试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少？ 解法1 设 pk 表示在前 k 次独立试验中A出现偶数次的概 率，由全概率公式，有 解法2 事件A出现奇数次的概率记为b, 出现偶数次的概 率记为a，则 因为 解得 9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的概率为 p， 试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少？ 10 (P72第38题) 已知自动织布机在Δt 这段时间内因故障 而停机的概率为α· Δt +o(Δt ) (α是常数), 并设机器在不 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间 内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关). 解 设 t 表示从 t0开始持续工作的时间，则要求的概率 为P(t).(在机器工作平稳的情况，可认为此概率只与 t有关，而与起点 t0 无关)。 机器在[t0 , t0 +t+Δt ]内不停止工作， 必须在[t0 , t0 +t ] 与 [t0 +t, t0 +t+Δt ]这两段时间内都不停止工作，又因 为这两事件相互独立，故 由此得 10 (P72第38题) 已知自动织布机在Δt 这段时间内因故障 而停机的概率为α· Δt +o(Δt ) (α是常数), 并设机器在不 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间 内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关). 概率函数是一个事件(集合)函数,这在使用起来往往不太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象，我们设法把样本空间中的样本点与数联系起来，建立起样本空间与实数（或复数）空间或其一部分的对应关系。这种关系就是所讲的随机变数。 引例1. 掷一枚硬币试验。样本空间 令 ξ 表示“正面出现的次数” §2.1 随机变数的直观意义与定义 引例2 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋 中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，考察两只 球的号码之和。 令 X 表示“所取两球的号码之和” 则 X 的取值范围为2，3，4，5，6。 由于X的取值依随机试验的结果而定，故称X为随机变数。 定义2.1.1 设(Ω,F,P )是一个概率空间，对于ω∈Ω,ξ(ω) 是一个取实数的单值函数;若对于任一实数x, {ξ(ω)x}是 一随机事件，亦即{ξ(ω)x} ∈F ，则称ξ为随机变数。 注： (2)随机事件可以通过随机变数来描述。以后简记 (3)在定义的条件下，如下形式的集合都是事件 (1)随机变数的自变量为ω∈Ω, 函数值为实数。 事实上,有 (续前例) 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋 中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，以X表示两 只球的号码之和，求X取每个值的概率。 解 X 表示“所取两球的号码之和” X 可能取值为2，3，4，5，6。 类似计算其它，得： 一.离散型随机变数与分布列 如果随机变量ξ全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，则称ξ为离散型随机变数。 则称 为 ξ 的分布列。亦称为ξ的概率函数。 定义2.1.2 设ξ为离散型随机变数，ξ的所有可能取值为 分布列也可用下述表格来表示： 结论：离散型