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(word)全国2010高中数学联赛模拟试题一
全国2010高中数学联赛模拟试题一 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1的最大值是(? ) A、2???????? B、?????? C、????????D、3 2,定义,则(? ) A?????? ?B.?????????????? C.?????????? ?D. 3P-ABC的外接球O的半径为1,且满足++=,则正三棱锥P-ABC的体积为 (? ) ? A? B. ? C. ? D. 4的左右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上任意一点,当取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为(? ) A、??? B、3??????? C、?????? D、2 5(R),且 则a的值有 (? )?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (A)个???? (B)个???? (C)个???? (D)无数个 6. A、B,另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称()为一个好点对。那么这样的好点对 (? ) A.不存在??? B.至少有一个??? C.至多有一个 D.恰有一个 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7的解集为,那么的值等于__________. 8R上的函数,对任意实数,都有和,且,则的值为_________. 9是等差数列,则通项为的数列也是等差数列.类比上述性质,相应地,若是正项等比数列,则通项为_______________的数列也是等比数列. 10S—ABC中M、N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是?????????? 116种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答). 12.A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围???????? ???????????? 三、解答题(本题满分60分,共4小题,每题各15分) 13设向量 (1)? 求的取值范围; (2)若试确定实数的取值范围. 14PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2)。(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC 把几何体分成的两部分;(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM是否平行面PCD. 15., 线段 ?是过左焦点 ?且不与 ?轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 ?为正三角形, 求椭圆的离心率 ?的取值范围, 并用 ?表示直线 ?的斜率. 16. 中, (Ⅰ)试比较与的大小; (Ⅱ)证明:当时,. 参考答案: 1.B 2. 可知是最小正周期为6的函数。即得,所以=,故选C. 3.B 4.B 5. D为偶函数,则考虑在时,恒有 ????? ??????????. 所以当,且时,恒有. 由于不等式的解集为,不等式 的解集为.因此当时,恒有 . 故选(D). 6.B,所以。将区间[0,1]分成[], 三段,则中至少有两个值落在同一个小区间内(抽屉原理)。所以满足的好点对()至少有一个。所以选B. 7. 8. ? 9. 10. 36 11. 390 12.y21–4,y1),C点坐标为(y2–4,y) 显然y21–4≠0,故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC,所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x,注意到y≠y1 得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得:y≤0或y≥4. 当y=0时,点B的坐标为(–3,–1);当y=4时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意。故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4. 13. 解:因为 所以,由正弦定理,得, 即又所以即 . ??? (1)= ???????? ??????? ???????? 因此的取值范围是 ?(2)若则, 由正弦定理,得 ?????? 设=,则, ?????? 所以 即 ????? 所以实数的取值范围为 14. I)证明:依题意知: ???? ????????? (II)由(I)知平面ABCD ?????? ∴平面PAB⊥平面ABCD. 在PB上取一点M,作MN⊥AB
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