空气动力学Chapter3-3解析.ppt

3.3 薄翼理论 　２维翼型理论(two-dimensional airfoil theory)： 　薄翼理论(thin airfoil theory) 　任意翼型理论(theory of arbitrary wing sections) 机翼是在其截面周围产生环量的物体。 涡丝也在其周围产生环量。 涡丝和机翼在产生环量这点上效果相同。 理论上讲，机翼可以用涡丝来置换。 　薄翼理论－忽视机翼厚度，将中线看作翼型。沿中线排列无数个涡丝，使之产生薄翼的效果。 　如图。以长度为　的翼弦的中点为原点。在翼弦方向上取　轴，用　　　来表示翼型的中线。 　涡在中线上分布。翼型的弯度充分小的情况下，中线与翼弦之间的距离可以忽略。此时，将涡的分布移到翼弦上也没有问题。 　设翼弦上单位长度涡的强度为　　，翼弦上的点　处的微小长度　 部分的涡在另一点　处诱导出的　方向的速度为 　 　因此，翼弦上所有点在　点处诱导出的速度为 　设吹向机翼的相对风速度为　，迎角为　。 　由于　　比　小，点　处流动方向与　轴夹角为　　　　。 　因为在翼表面，流体需贴着翼面，所以流动方向应与该点的切线方向相同，即 　代入前式，得 　这是给定中线　　　　，求　　的积分方程。 　解此方程的方法有多种，一般采用傅立叶级数求解的方法。 　至此，翼中线　　　和涡度分布　　都是　的函数。通过下式，可将函数变成　的函数。 　　　对应机翼的后缘，　　对应机翼的前缘。 　涡度的分布可用傅立叶级数来表示。 　设涡度的分布可写成如下形式 　代入诱导速度公式，得 　用三角函数的关系式 　得 　用积分公式 　和 　得 　原公式可写为 　将此式两边对　从０到　进行积分，得求系数　的公式 　另将前式两边乘以　　，再对　从０到　进行积分，得 　用积分公式 　得求　的公式 　知道　　以后，可求机翼单位翼展的升力和力矩。 　将　　从机翼的前缘到后缘进行积分，得 　这等于机翼周围的环量。因此，作用于机翼单位翼展的升力为 　将环量的傅立叶展开公式代入 　这里用到了积分公式 　同样，求升力系数，得 　 　用迎角　微分，可得升力梯度。由前面系数公式知　　　　　　　　，因此 　　机翼上一点的上面的速度为　　，下面的速度为　　。如图，沿围这点的微小长方形计算环量， 　即 　另一方面，考虑　，　远小于　，从贝努利定理知 　这是沿翼弦的局域载荷（local chordwise loading）。用动压相除，得到局域载荷系数(local load coefficient) 　代入涡度的傅立叶公式，得 　这个载荷如果不是　　，则在前缘　　处无穷大。使　　的迎角叫理想迎角(ideal angle of attack) 　在前缘与中线方向一致。　 3.4 儒可夫斯基翼型 　用复数函数的理论是针对完全流体的。不能说明阻力等起因于粘性的现象。 　但是，可以分析任意形状翼型周围的流场，得到压力分布、升力、力矩等有用的结果。 　如第２章所示，圆柱绕流的完全流体可以完整地求解。通过保角变换(conformal mapping)将圆柱变换成翼型，圆柱绕流便可转换成为机翼绕流。 　将圆变换成翼型的函数叫投影函数(transformation function) 　　　平面上的圆投影到　　坐标面上。表达圆柱绕流的速度势函数，也被投影函数投影为翼型绕流。 　 　最简单的投影函数为儒可夫斯基变换(Joukowski transformation)。是俄国空气动力学家儒可夫斯基于1910年发现的。这种翼型叫儒可夫斯基翼型。 　儒可夫斯基翼型的缺点是后缘如刀刃一样薄，实用上存在问题。 　通过改良，得到了Karman-Trefftz profile, von Mises profile 。 　设　　　， 　儒可夫斯基变换为 　这里，　为正的常数。 　如图，　平面上的任意形状的闭曲线　，从原点　到曲线上　点的动径为　，动径与　轴的夹角为 　 用欧拉公式 有 　点　在　平面上的坐标为　　　　　。 　当　从０到　变化时，点　从点　沿曲线　　反时针方向转一周。 　将曲线的方程代入儒可夫斯基变换式，得 　用欧拉方程，得 　因此， 3.4.1 平板翼 　　平面，以原点　为圆心，的圆 通过儒可夫斯基变换投影到　平面的　轴上　长的线段上。 　将这个线段看作是翼截面，即是平板翼。 　代入前式，点　的坐标为 3.4.2 圆弧翼 　　平面上点　　为圆心，通过　轴上两点 　　　　，圆的半径为 　简化为 　代入前式，得　　　　。 　从前式中将　消去，得 　再消去　，得 3.4.3 对称儒可夫斯基翼型 　　平面上的点　　为中心，在点　　相切的圆。 代入　　　　　，　　　　　，消去 公式简化为