2016届高考数学总复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性课程.doc

第3讲　函数的奇偶性与周期性 必威体育精装版考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 知 识 梳 理 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． 两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． 一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) 2．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是(　　) A.y＝2x－ B．y＝x3sin x C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x 解析　易知y＝2x－是奇函数，y＝x3sin x和y＝2cos x＋1是偶函数，y＝x2＋2x是非奇非偶函数，故选A. 答案　A 3．(2014·新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析　依题意得对任意xR，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，D错． 答案　C 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析　f(x＋4)＝f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数， f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案　A 5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________. 解析　当x＜0时，则－x＞0，f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， f(x)＝x(1－x)． 答案　x(1－x) 考点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xlg(x＋)； (2)f(x)＝(1－x)； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝. 解　(1)＞|x|≥0， 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)lg(－x＋) ＝－xlg(－x) ＝xlg(＋x)＝f(x)． 即f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函数． (2)当且仅当≥0时函数有意义， －1≤x＜1， 由于定义域关于原点不对称， 函数f(x)是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1