DA2007年高考数学四川卷（理）.docVIP

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学参考答案 一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分 （1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分 （13） （14） （15） （16）① ④ 三．解答题： （17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。 解：（Ⅰ）由，得 ∴，于是 （Ⅱ）由，得 又∵，∴ 由得： 所以 （18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有 （Ⅱ）可能的取值为 ，， 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 （19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： （Ⅰ）∵ ∴， 又∵ ∴ （Ⅱ）取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形 ∴ 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图） 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴ （20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 （21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题可得 所以过曲线上点的切线方程为， 即 令，得，即 显然 ∴ （Ⅱ）证明：（必要性） 若对一切正整数，则，即，而，∴，即有 （充分性）若，由 用数学归纳法易得，从而，即 又 ∴ 于是， 即对一切正整数成立 （Ⅲ）由，知，同理， 故 从而，即 所以，数列成等比数列，故， 即，从而 所以 （22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 （Ⅱ）证法一：因 证法二： 因 而 故只需对和进行比较。 令，有 由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值 故当时，， 从而有，亦即 故有恒成立。 所以，原不等式成立。 （Ⅲ）对，且 有 又因，故 ∵，从而有成立， 即存在，使得恒成立。