D6.3 定积分在物理学上的应用.docVIP

第三节 定积分在物理学上的应用 1.物体按规律作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由移 至时，克服阻力所作的功． 解：由导数的物理意义，速度函数为，则阻力， 当 时，；当时，， 则 . 2.一形如圆台的桶盛满了水，桶高3米，上下底半径分别为1米和2米，求将水吸尽所做 的功. 解：如图建立坐标系,图中直线方程：,介于深度为与之间的一层水 的质量为 为水的密度 ,所做的功为 , . 3.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长和，高为．较长的底边与水面相 齐．计算闸门的一侧所受的水压力． 解：建立坐标系如图: 所在的直线方程为, . 4.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与击入木板的深度成正比，在击入第一 次时，将铁钉击入木板．如果铁锤每次击打铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁 钉又击入多少？ 解：设铁钉深度为,则阻力为 为比例常数 ，则击第一次阻力所做的功 ，设击第二次后，铁钉位于处，则，，即，，故击第二次时，铁钉又击入了. 5.附加题 设有一半径为、中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为 的质点，试求细棒对该质点的引力. 解：法一：如图建立坐标系 取上的小区间，则 ， ，， 故 , . 法二：如图建立坐标系，取上的小 区间，由对称性得 ， 高等数学 1 标准化作业题参考答案—30 班级 姓名 学号 101