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第十章 曲线积分与曲面积分 (第四部分)曲面积分 Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分） 一、对面积的曲面积分的定义 1．定义 . 2．物理意义 表示面密度为的曲面的质量. 二、对面积的曲面积分的性质 1．线性性质： 2．可加性：. 3．的面积：. 4．单调性：若在上，，则. 三、对面积的曲面积分的计算方法 方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量） （1）若，. 则 . （2）若，. 则 . （3）若，. 则 . 四、对面积的曲面积分典型例题 例1．计算曲面积分，其中为在与之间的部分。 分析 因为：，即，从中能确定，或。 解 令： ；：. 则（如图）. （1）求和在平面上的投影区域： 因和在平面上的投影区域相同，设为，则 ：，. （2）求微元：在和上， ； （3）转化为二重积分： . 例2．计算曲面积分，其中为曲面. 分析 注意到积分曲面为旋转抛物面，它关于面和面对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，因此只要计算在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。 解 设在第一卦限的部分为，则在面上的投影区域为 于是 （令） . 例3．计算曲面积分，其中为球面. 分析 由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。 解 因 ，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易知，故 . 注 从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点： （1）由于积分范围是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数； （2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算； （3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。 五、对面积的曲面积分的应用 1．几何应用 求曲面的面积：. 2．物理应用 质量 . 质心 ，， . 转动惯量 ，， . 例4．求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。 分析 本题为曲面积分在物理中的应用问题，只需按公式将其转化为对面积的曲面积分进行计算即可。 解 由题意； 因：；在坐标面上的投影区域为；. 所以 （令） . Ⅱ、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分） 一、对坐标的曲面积分的概念 1．定义 . 2．物理意义 表示流体密度速度场为，单位时间内流过曲面一侧的流量。 二、对坐标的曲面积分的性质 1．可加性 ； 2．反号性 ). 三、对坐标的曲面积分的计算方法 1．直接投影法（化为二重积分） （1）设 ，. 则 . 上侧取“+”，下侧取“–”. （2）设，. 则 . 前侧取“+”，后侧取“–”. （3）设，. 则 . 右侧取“+”，左侧取“–”. 2．高斯（Gauss）公式计算法 . 或 . 这里是的外侧边界，为曲面上点处的法向量的方向余弦. 3．转化为第一型曲面积分计算法 其中为曲面在点处的法向量的方向余弦. 4. 斯托克斯公式： 或 . 其中，为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，在（连同边界）上具有一阶连续偏导数。 四、对坐标的曲面积分典型例题 例5．计算曲面积分，其中为下半球面的上侧。 分析 由于，，定义在曲面上，所以被积函数满足曲面方程. 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即，然后再计算。 解 先以代入被积表达式中，得 . （法一）直接计算 将（或分片后）投影到相应坐标面上化为二重积分逐块计算。 其中为平面上的半圆. 利用极坐标，得 因此，. （法二）高斯公式 补有向曲面取下侧，则构成封闭曲面，且方向为内侧。由所围成的空间闭区域为：（如图所示）. 应用高斯公式，得 . 又因 ， 因此 . 例 6．计算曲面积分，其中是曲面的外侧。 分析 由于，，， 有，，，从而，故可考虑用高斯公式。但是三个偏导数在点不连续，所以，需要补面去掉奇点。 解 补有向曲面取内侧，则构成封闭曲面，且方向为外侧。设由所围成的空间闭区域为. 应用高斯公式，得 ． （用高斯公式） ． 因此，． 例7． 计算，其中是平面与