更相减损术详解.pptVIP

算法案例（一） 辗转相除法与更相减损术 山东淄博五中 孙天军 〖学习目标〗 1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用； 2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序； 熟练运用这两种算法求最大公约数． 3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力． 〖重点难点〗 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法． 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言． 一.课前自学 1 ． 回顾算法的三种表述：自然语言,程序框图,程序语言. 程序框图有三种逻辑结构:顺序结构,条件结构,循环结构. 程序语言有五种基本算法语句:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句. 2．回顾求两个数的最大公约数的法． 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 3.① 求24与30的最大公约数． ②求210与462的最大公约数． 如何求8251和6105的最大公约数？ 所以，24和30的最大公约数为6 210和462的最大公约数为42 24 （1） 2 12 30 15 4 3 5 210 （2） 2 105 462 231 3 35 7 5 77 11 板块二：新知探究 1 ．问题提出：当两个数公有的质因数较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？ 2 ．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几 里得在公元前300左右首先提 出的，因而，又叫欧几里得 算法． 3．师生探究： 例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数． 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 ： 第一步 :用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数 8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 若m是6105与2146的公约数，则8251必能被m整除。 探究1。 用辗转相除法求225和135的最大 公约数 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 探究2：辗转相除法的解题步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？ 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 辗转相除法算法步骤： 第一步：输入两个正整数a、b(ab) ; 第二步：求a除以b的余数r； 第三步： 若r≠0，则把b的值赋于a， r的值赋于b，转到第二步；否则转到第四步； 第四步：输出最大公约数b 数学原理是 ：在展转相除的过程中的b与r的公约数始终和a与b的公约数相等，且相除的步骤是有限的。 程序框图： 程序： 开始 是 结束 输入a，b r=a mod b a＝b b ＝ r r＝0 输出a 否 INPUT “a，b”；a，b DO r=a mod b a=b b=r LOOP UNTIL r=0 PRINT a END 4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最 大公约数之外还有没有别的算法？ 5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.，以等数约之． 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数． 6．师生再探： 例2 ．用更相减损术求91与49的最大公约数，并用辗转相除法检验结果． 解法1：（更相减损术）由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减， 即：91－49＝42 49－4