第04章晶格振动.pptVIP

第四章 晶格振动和晶体的热学性质 晶格比热（热容） 晶格热容的量子理论 第三章要求 经典理论对晶格热容的解释及其困难 经典理论认为每一个自由度的平均能量为kBT，1摩尔固体中有N0个原子，共有3N0个自由度，N0 = 6.02 ? 1023，则原子的摩尔比热为： 是一个常数！与杜隆－珀替定律符合。 但经典物理无法解释在低温区晶格热容与温度有关，且在低温下趋于零这一事实。 N个原子的微振动可看成由3N种声子构成的体系. 在温度T时，频率为 的声子的平均能量为： 晶格振动总的平均能量为： 最大振动频率 晶格热容的量子理论 （续） 晶格振动对定容比热的贡献： 问题的关键在于求出频率分布函数 有两种模型求解 爱因斯坦模型 德拜模型 爱因斯坦模型（1907年） 爱因斯坦假设：1）晶格振动的能量是量子化的，N个原子的微振动可以由3N个量子谐振子描述，晶格的总能量是3N个量子谐振子能量的总和；2）所有原子都以相同的频率 振动，即爱因斯坦认为频率分布函数为: 晶格比热为： 通常用爱因斯坦温度 代替爱因斯坦频率 爱因斯坦温度 定义为: 用爱因斯坦温度表示的晶格比热为： 爱因斯坦模型（1907年） 这样只需要一个参数 ，就能得到整个温度范围的CV。选取合适的爱因斯坦温度，使得在晶格比热显著改变的广大温度范围内，理论值与实验值尽可能符合。不同的固体，爱因斯坦温度不同。 爱因斯坦模型与实验比较 爱因斯坦模型（1907年） 爱因斯坦模型的高、低温极限 高温极限 与经典的杜隆－珀替定律一致 低温极限 随温度指数下降，与实验结果有差异 爱因斯坦模型（1907年） 爱因斯坦模型的缺陷：根据爱因斯坦模型，晶格比热在低温区随温度指数下降，而实验结果是随温度按T3下降。问题的根源在于格波之间的频率差别，认为所有振动频率都一样，这个假设过于简化了。特别是在低温，频率较低的声学波声子的频率变化很大，必须考虑声子的频率分布。在高温时，由于比声学波振动模大得多的光学波振动模大量激发，很多光学波振动模的频率相差不大，因此爱因斯坦模型常常用于描述光学波声子对晶格比热的贡献。 德拜(Debye)模型（1912年） 德拜模型的基本假设： 晶格振动的能量是量子化的，由N个原子构成的晶体的晶格振动可以由3N个量子谐振子描述，晶格的总能量是3N个量子谐振子能量的总和。 忽略光学波对热容的贡献。将三支声学波作为弹性波来处理，即将三支声学波的色散关系简化为 ， 表示弹性波的速度，是一个常数。 德拜(Debye)模型（1912年） 德拜认为对比热有贡献的声子有一个截止频率 (称为德拜频率)，即不考虑频率超过 的声子对固体热容的贡献。德拜频率 由总自由度数确定： 德拜(Debye)模型（1912年） 德拜模型的频率分布函数： 一支格波 根据德拜德假设， 共有三支光学波。假设它们的速度相同，有： 把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的3n个线性齐次联立方程： 它有解的条件是系数行列式等于0。由此可以得到一个ω2的3n次方程式，从而给出3n个解： 对于一个波矢q,有3n个ω（即有3n支色散曲线） 三维晶格的振动 在3n支色散关系中，当q→0时（长波）： 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了不同原胞之间的相对运动 其余3n－3支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述n个格子之间的相对振动。 三维晶格的振动 三维晶格中，波矢q是矢量。引入波矢空间来表示所允许的q值，即把q看成一个空间矢量，波矢空间以倒格基矢为基矢 在周期性边界条件的限制下，q只能取一些分立值而不能是任意的 三维晶格的振动 波恩－卡门周期性边界条件 ： 应用 为整数 得到： 根据倒格基矢与正格基矢的关系可得 在波矢空间中，许可的q值是一些分立的点。代表q的点在倒格子空间是均匀分布的，每个点在波矢空间占据的体积为 表示相位差 和 描述同样的状态 把波矢q的取值限制在第一布里渊区 一个布里渊区可能有的q数目 波矢空间中，单位体积内q的数目， 即q的密度为 三维晶格的振动 3nN个本征振动模 三维晶格中，波矢q是矢量，还需要考虑原子的位移方向与格波的传播方向之间的关系。一般情况下，原子的振动方向既不平行也不垂直波矢，只有在一些特殊方向（一般是布里渊区的对称轴方向）格波可以分为横波（振动方向与格波行进方向垂直，包含两个频率简并的波）和纵波（振动方向与格波行进平行)。通常用LA表示纵声学波，TA表示横声学波；LO表示纵光学波，TO表示横光学波。每支格波的频率都有上下限。 三维晶格的振动 三维晶格中原子的本证振动模是一系列的格波，格波的一般形式形式： 格波可以用位于倒格子空间中第一布里渊区的波矢q