微积分定积分在几何中应用.docVIP

二 定积分在几何中的应用 1 求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y f x 在区间[a,b]上的定积分等于由函数y f x ，x a，x b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线和直线x l，x 2及x轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 2 求旋转体的体积 I 由连续曲线y f x 与直线x a、x b a b 及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为。 Ⅱ 由连续曲线y g y 与直线y c、y d c d 及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为。 III 由连续曲线y f x 与直线x a、x b b 及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为。 例如：求椭圆所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转体的体积。 分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆，与y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆所围成的图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 3 求平面曲线的弧长 I 、设曲线弧由参数方程 给出其中在上连续，则该曲线弧的长度为。 Ⅲ 设曲线弧的极坐标方程为，其中在上连续，则该曲线弧的长度为。 例如：求曲线从x l到x e之间一段曲线的弧长。 解：，于是弧长微元为，。 所以，所求弧长为：。 一、在几何中的应用 一 微分学在几何中的应用 1 求曲线切线的斜率 由导数的几何意义可知，曲线y x 在点处的切线等于过该点切线的斜率。即，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。 例如：求曲线在点 1，1 处的切线方程和法线方程。 分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为： ，所以，所求切线的方程为y-l 2 x一1 ，化解得切线方程为2x-y-1 0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为，化解得法线方程为2y+x-3 0。 2 求函数值增量的近似值 由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。 例如：计算的近似值。 分析：令f x sin x ，则f x cosx，取，，则由微分的定义可知