2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题8实践操作探究类问题.docVIP

PAGE  PAGE - 24 - 2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题8：实践操作、探究类问题 81. （2012湖北襄阳10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 【答案】解：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°。 ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB。 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）。 ∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。 （2）EF2=4OD?OP。证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。 ∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴，即OA2=OD?OP。 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP。 （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理）。 设AD=x， ∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3。 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）。∴AD=4，OA=2x﹣3=5。 ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=。 ∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25。∴PE=。 【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角 形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。 （2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。 （3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD?OP，代入数据即可得出PE的长。　 82. （2012湖北随州13分）在一次数学活动课上，老师出了一道题： (1)解方程x2－2x－3=0. 巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。 接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题： (2)解关于x的方程mx2+(m－3)x－3=0(m为常数，且m≠0). 老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题： (3)已知关于x的函数y=mx2+(m－3)x－3(m为常数). ①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C)； ②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为点B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题. 【答案】解：（1）由x2－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0，∴x1=1，x2=3 。 （2）由mx2+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0 ∵m≠0, ∴x1=－1，x2= 。 （3）①1°当m=0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=－3x－3， 令y=0，得x=－1；令x=0，则y=－3。 ∴直线y=－3x－3过定点A（－1，0）,C（0，－3）。 2°当m≠0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=（x+1）·(mx－3)， ∴抛物线y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）。 综上所述，不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点A（－1，0）,C（0，－3）。 ②当m0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和 B（，0）， 观察图象，可知，当△ABC为Rt△时， △AOC∽△COB ∴，即。∴OB=9。 ∴B(9，0) 。 ∴当，即：m＞时，△ABC为锐角三角形。 当△ABC为钝角三角形时，0m或m0且m≠－3。 【考点】解一元二次方程，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的分类。 【分析】（1）用因式分解法或公式法解一元二次方程。