2016挑战中考数学压轴题图形运动中由面积产生的函数关系问题剖析.docVIP

由面积产生的函数关系问题 例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P． （1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长； （3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为，求AP的长． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交． 思路点拨 1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距． 2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等． 3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程． 满分解答 （1）如图2，在Rt△ABC中， AC＝4，cosA＝，所以AB＝16，BC＝． 设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝AP＝x，PE＝AP＝x． 所以y＝S△PCD＝＝＝． 定义域是0＜x＜8． （2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE． 因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m． 由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝＝． 此时AE＝＝，AP＝4AE＝． 图2 图3 （3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G． 由于CM＝CN＝1，MN＝，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝． 如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15． 所以CP＝＝．因此PG＝（如图4）． 如图4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得． 整理，得2x2－64x＋257＝0．解得，（舍去）． 图4 图5 考点伸展 第（2）题也可以这样计算：由于PF＝BP＝，由PE＝PF，得．解得． 例2 2014年黄冈市中考第25题 如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面??为S． （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标； （3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）求出S与t的函数关系式． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上． 思路点拨 1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状． 2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论． 满分解答 （1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)． 于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1． 解得．所以．顶点M的坐标为． （2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)． （3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)． 将O′(2t,－2t)代入，得．解得． 将Q′(3t,－t)代入，得．解得t＝1． 因此，当时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）． 图2 图3 （4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2． ②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2． 此时S＝． 图4 图5 ③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA． 此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t． 所以S＝． 图6 考点伸展 在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？ 如图4，．如图5，．