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相位差 调制频率 载频 合振动出现一次最强 O 拍的周期 拍的频率 简称拍频 作业 11-3, 11-4, 11-5, 11-6*. y x 三、相互垂直的简谐运动的合成 1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成 结论： 两相互垂直同频率简谐运动的合成，其振动轨迹为一椭圆 又称“椭圆运动” 。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。 讨论1： 质点运动轨迹为直线 质点运动轨迹为正椭圆 讨论2： 两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做李萨如 J.A.Lissajous 图。 在李萨如图形中： 曲线与平行于x轴的直线的切点数 曲线与平行于y轴的直线的切点数 两简谐运动的频率比 其中频率为1:1的利萨如图为椭圆，在一定的相位差条件下，退化为一直线。 2. 相互垂直的不同频率简谐运动的合成 π ω × 1 3 π 2 A x t 1s时 ω 5 6 π π Φ 1 2 ω Φ 1 t 1 + j 1 x 0 1 ＜ 0 v d x d t x A A 2 1.0 0 t x A cos 5 6 π t π 3 x -π 3 A t 0 本题 ω 的另一种求法： π 2 A t 1 例11-6: 两质点作同方向的简谐运动。当质点1在 x1 A1/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2 -A2/2 处，向右运动。求这两个质点的相位差。 解： 质点1： 质点2： A2 -A2 O -A2/2 A1/2 A1 -A1 O 作业 11-1, 11-2 3 * 5 *. §11-2 简谐运动的动力学特征 一、动力学描述 二、简谐运动的能量 一、动力学描述 1. 弹簧振子——理想模型 根据胡克定律： k为劲度系数 1 在弹簧形变不大时，弹性力 F 和位置x 成正比。 2 弹性力F和位置x恒反向，始终指向平衡位置。 回复力：始终指向平衡位置的作用力 振动的条件: 1 存在恢复力； 2 物体具有惯性 由牛顿第一定律得 简谐运动的微分方程 令: 微分方程的解： 简谐运动 为积分常量，由初始条件确定。 任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦 或正弦 规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动。 如：交流电压U ω为常数 O l ? mg T 2. 单摆的讨论 结论：小摆角单摆的振动是简谐运动。 1 为振动角位置，振幅为 2 、T与m无关，但T 2与l成正比、与g成反比。 a b ρ ρ ′ 例11-7 水上浮有一方形木块，在静止时水面以上 高度为 ，水面以下高度为 。水密度为 ，木块 密度为 ，不计水的阻力。现用外力将木块压入水 中，使木块上表面与水面平齐。求证：木块将作谐 振动，并写出谐振动方程。 例11-7 水上浮有一方形木块，在静止时水面以上 高度为 ，水面以下高度为 。水密度为 ，木块 密度为 ，不计水的阻力。现用外力将木块压入水 中，使木块上表面与水面平齐。求证：木块将作谐 振动，并写出谐振动方程。 例11-7 水上浮有一方形木块，在静止时水面以上 高度为 ，水面以下高度为 。水密度为 ，木块 密度为 ，不计水的阻力。现用外力将木块压入水 中，使木块上表面与水面平齐。求证：木块将作谐 振动，并写出谐振动方程。 平衡时： 任意位置木块受到的合外力为： 合外力和位置成正比，方向和位置相反， 木块作谐振动。 解： ρ g x s ′ Σ F 由上面得到： 由牛顿定律 g x ρ ρ d dt 2 2 a + s b s x ′ t 0 ρ ω g a+b ρ ′ g ρ ρ 2 d dt 2 + a+b 0 x x ′ ρ a+b ρ g x cos a t ′ 0 v 0 0 x -a A a ? j 例11-8*: 质量为m的比重计，放在密度为? 的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动作简谐运动, 并计算周期。 解：取平衡位置为坐标原点 平衡时： 浮力： 其中V 为比重计的排水体积 Ｏ a b 据牛顿定律： x Ｏ x x 由式 b ,　有 则得 11-9*:一轻弹簧下挂一质量为m的砝码，砝码静止时弹簧 伸长B，如果再把砝码竖直拉下A放手。（1）证明它作简 谐振动；（2）求它的振动方程。 解：（1） 平衡时： 以平衡位置作为坐标原点o，x轴向下 砝码在任一位置x时受合力为 砝码受合力与位移x成正比且方向 相反，所以它作简谐振动。 11-9*:一轻弹簧下挂一质量为m的砝码，砝码静止时弹簧 伸长B，如果再把砝码