《三维设计》级数学轮复习基础讲解空间向量及其运算和空间位置关系.docVIP

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法 空间向量及其运算和空间位置关系(理) [知识能否忆起] 空间向量及其有关概念 语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c． (2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1. 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2). 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) 三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的． [小题能否全取] 1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c　　　　　　　　 B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 解析：选C　∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b. 2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，???构成基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析：选C　若c、a＋b、a－b共面， 则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②若＝x＋y，则M、P、A、B共面； ③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面． 其中正确的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选D　可判断①②③正确． 4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 解析：如图，＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2) ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4) ＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c. 答案：eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c 5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 解析：设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确． 答案：①② 1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 2．直线的方向向量与平面的法