物理学中的群论基础第一章.ppt

物理学中的群论及其应用;考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)， n是一个稳定的有限正整数。此集合有四个性质： (a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正 矩阵，从而也属于集合U(n). (b)包含单位矩阵I，具有性质：?U?U(n)，UI=IU=U. (c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中， UV=VU=I. (d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.;(c)存在逆元;1.1.1 变换群;O ;一个系统的所有对称变换的集合是一个群。;1.1.2正方形的对称性群;：;：;（2）S(K)中的运算举例;（3）S(K)中的幺元;O ;1.2 乘法表(Cayley表);1.2.1重排定理;例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最 小正整数。;1.3共轭元素和类;1.4子群;XH=(XE, XH2, XH3, …, XHh).;1.4.3 Lagrange定理;H∪XH∪YH=(E, H2,…, Hh, X, XH2,…, XHh, Y, YH2,…, YHh).;上式就是Hi和Hj只见的共轭关系，表明如果Hi属于G中的正规子 群H，则与Hi共轭的所有元素也属于H. 这个结论常被说成： 正规子群由较大群的完全类组成。其逆也成立。;1.5群的直积;多对一的映射更常遇到。如果群G1的每一元素A对应于另一群G2 的唯一元素?(A)使得?(AB)=?(A)?(B) ，就说存在从G1到G2的同态.;1.7置换群;1.8给定阶的不同群;讨论两种可能的结构. 如1.4.3所述，元素A, B和C的阶是2或4. 若 任一元素A的阶为4, 则其余三元素必等于A的乘幂. 从而得到结构; n=5, 这种情况下，仅一种可能结构，5阶循环群(A, A2, A3, A4, A5?E). (vi) n=6, 又有两个不同的(非同构的)群. 此群记作(E, A, B, C, D, F). 同前面一样，注意除E外所有元素的阶必为2, 3, 或6. 若任一元素 的阶为6, 则是一个6阶循环群(A, A2, A3, A4, A5, A6?E). 为找第二种 可能结构，我们排除这种情形. 现在证明A, B, C, D和F诸元素不可能全都是2阶的. 因为如果这 样，根据习题(1.11), 此群是Abel群. 考察任一两元素A和B, 它们满 足A2=B2=E, 且令AB=BA=C. 显然，四元素(E, A, B, C)组成一个4阶 子群. 但这违反了关于子群的基本定理(子群的阶必定是群阶的整 数因子). 得到结论：至少有一个元素的阶是3.