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有限元法基础 教材 董湘怀. 材料成形计算机模拟，第2版. 北京：机械工业出版社，2005 讲课：24学时 主要参考书 王勖成. 有限单元法. 北京：清华大学出版社，2003 T. R. Chandrupatla, A.D. Belegundu著，曾攀译. 工程中的有限元方法. 北京：清华大学出版社，2006 曾攀. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版社，2004 主要参考书 谢水生，李雷. 金属塑性成形的有限元模拟技术及应用. 北京：科学出版社，2008 李尚健. 金属塑性成形过程模拟. 北京：机械工业出版社，1999 钟志华，李光耀. 薄板冲压成型过程的计算机仿真与应用. 北京：北京理工大学出版社，1998 材料成形问题的复杂性 非线性 □ 几何非线性 □ 物理非线性 □ 状态非线性 模具和工艺的复杂性 □ 复杂几何形状 □ 多工序 数值模拟方法的优越性 经济、快速、优化、并行 结果详尽 □ 应力、应变、温度 □ 组织性能变化 虚拟、灵活 板料成形数值模拟实例 板料成形数值模拟实例 有限元法概述 有限元法的发展过程 1960年，Clough求解平面弹性问题，第一次提出“有限单元法”的名称 有限元法的工程应用 杆件结构问题 平板弯曲问题 壳体问题 热传导问题 动力学问题 流固耦合问题 接触－碰撞问题 有限元法概述 有限元分析软件 NASTRAN，SAP， MARC，ANSYS，ABAQUS， JIFEX， LS-DYNA3D ······ 有限元法的发展方向 本构模型，单元模型，数值分析方案，CAD/CAE/CAM集成 ······ 有限元法的基本思想 化整为零 积零为整 有限元法的基本思想 基本思想 有限元法的基本思想 有限元法分类 有限元法的基本思想 位移法基本过程 离散化过程 最小势能原理 离散化过程 离散化过程 单元插值关系 离散化过程 单元刚度矩阵的特性 对称性 线弹性问题几何方程—三维问题 线弹性问题几何方程—二维问题 线弹性问题几何方程—二维问题 线弹性问题几何方程—一维问题 线弹性问题本构方程—三维问题 线弹性问题本构方程—平面应力 线弹性问题本构方程—平面应力 线弹性问题本构方程—平面应变 线弹性问题本构方程—平面应变 线弹性问题本构方程—轴对称 线弹性问题本构方程—轴对称 线弹性问题本构方程—轴对称 线弹性问题本构方程—一维问题 常用单元模型 单元模型 常用单元模型 一维单元 常用单元模型 二维单元 常用单元模型 二维单元 常用单元模型 二维单元 常用单元模型 三维单元 常用单元模型 三维单元 常用单元模型 常用单元模型 常用单元模型 常用单元模型 常用单元模型 单元模型构造 有限元法的基本思想 单元模型构造 插值函数 单元模型构造方法 整体坐标系法 局部坐标系法 单元模型构造—基本思想与方法 1）Lagrange插值方法 单元模型构造—基本思想与方法 式中，Ni是插值函数，它有以下性质 单元模型构造—基本思想与方法 上式也反映了插值函数的一个共同特性：插值函数Ni在i节点处的值等于1，在其他节点处的值于0，也称为插值函数的正交性。 单元模型构造—基本思想与方法 2）Hermite插值方法 单元模型构造—基本思想与方法 单元模型构造—基本思想与方法 Hermite多项式具有以下性质 单元模型构造—基本思想与方法 上式在两个节点处最高保持场函数的一阶导数连续性，这种多项式称为一阶Hermite多项式。零阶Hermite多项式就退化为Lagrange多项式。进一步推广，在节点处保持至场函数的n阶导数连续性，就称为n阶Hermite多项式。 单元模型构造方法 2节点线单元 单元模型构造方法 单元模型构造方法 关键 插值多项式收敛性条件 收敛：当单元逐渐缩小时，如果插值多项式满足收敛性条件，则数值解将收敛于精确解 插值多项式收敛性条件 协调单元 满足插值多项式收敛性条件①和③的单元 完备单元 满足插值多项式收敛性条件②的单元 cr 阶连续性 插值多项式的第r阶导数是连续的 插值多项式收敛性条件 非协调单元与部分协调单元 对于一般固体力学问题来说，协调性要求单元在变形时，相邻单元之间不应引起开裂、重叠或其它不连续现象。例如，梁、板、壳等单元，在单元边界不但要求位移是连续的，而且其一阶导数也必须是连续的。板、壳单元位移函数沿单元边界的法向导数（转角）的连续性一般比较难实现，因此出现了许多不完全满足协调性要求的“非协调单元”或“部分协调单元”，有时它们的精度也很好。 插值多项式选择条件 插值多项式应该尽可能满足其收敛性条件（收敛性） 由插值多项式所确定的场函