最全的递推数列求通项公式方法.doc

PAGE  PAGE 24 高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分） 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解：， ，即 ， …… …… 将以上k个式子相加，得 将代入，得 ， 。 经检验也适合， 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例:已知， ，求。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相乘，得 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列中，若，则该数列的通项_______________ （key:） 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明： （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　　　　　　　　　　　　　① 　　　　　　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　 是等差数列 证法二：同证法一，得 　 令得 设下面用数学归纳法证明　 （1）当时，等式成立 （2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立 根据（1）和（2），可知对任何都成立 是等差数列 （III）证明： 变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异． 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 解：（I）当时，； 当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得： (Ⅱ)将代入①得 Sn=  eq \f(4,3)×(4n－2n)－ eq \f(1,3)×2n+1 +  eq \f(2,3) =  eq \f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2) =  eq \f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1) Tn=  eq \f(2n,Sn) =  eq \f(3,2)× eq \f(2n, (2n+1－1)(2n－1)) =  eq \f(3,2)×( eq \f(1,2n－1) －  eq \f(1,2n+1－1)) 所以, =  eq \f(3,2) eq \f(1,2i－1) －  eq \f(1,2i+1－1)) =  eq \f(3,2)×( eq \f(1,21－1) －  eq \f(1,2i+1－1))  eq \f(3,2) 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）: 数列：， ，求数列的通项公式。 由，得 ， 且。 则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是 。把代入，得 ， ，