D6.3.2方向导数.pptVIP

一、方向导数 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 讨论函数z f x,y 在一点P沿某一方向的变化率 问题． 设函数z?f x, y 在点P0 x0? y0 的某一邻域U P0 内有定 义? l是xOy平面上以P0 x0? y0 为始点的一条射线? 与l同方 向的单位向量为el? cos?? cos? ? 取P x0?tcos?? y0?tcos? ?U P0 ? 如果极限 存在, 则称此极限为函数f x, y 在点P0 沿方向l的方向导数, 记为 方向导数 方向导数就是函数f x? y 在点P0 x0? y0 处沿方向l的变化率? 思考: 函数f x, y 在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负 向的方向导数如何 沿x轴正向时, cosa 1, cosb 0 沿x轴正向时, cosa -1, cosb 0 定理 如果函数z?f x, y 在点P0 x0? y0 可微分, 那么函数 在该点沿任一方向l el? cos?? cos? 的方向导数都存在, 且有 证明:由于函数可微，则增量可表示为 但点 在以 x0,y0 为始点的射线l上,故有 ,所以 例1 求函数z?xe2y在点P 1, 0 处沿从点P到点Q 2, ?1 的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f x, y 在点P0沿方向l el? cos?? cos? 的方向导数? 因为函数可微分? 且 例2. 求函数 在点P 2, 3 沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l 方向角为 存在下列极限: 记作 对于三元函数f x,y,z ,类似的有 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 例3. 设 是曲面 在点 P 1, 1, 1 处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 二、梯度 设函数z?f x, y 在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0 x0? y0 ?D, 都可确定一个向量 fx x0? y0 i?fy x0? y0 j? 这向量称为函数f x, y 在点P0 x0? y0 的梯度, 记作 gradf x0? y0 ,即 gradf x0? y0 ?fx x0? y0 i?fy x0? y0 j? 如果函数f x? y 在点P0 x0? y0 可微分? el? cos?? cos? 是与方向l同方向的单位向量, 则 ?gradf x0? y0 ?el?|gradf x0? y0 |?cos gradf x0? y0 ,^el ? ?|gradf x0? y0 |?cos gradf x0? y0 ,^el ? 可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影, 当 方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值. 所以 沿梯度方向是函数f x, y 在这点增长最快的方向. 如果函数f x? y 在点P0 x0? y0 可微分? el? cos?? cos? 是与方向l同方向的单位向量, 则 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取 得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 , 称为函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面 等量面 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向. 梯度的几何意义 于是 grad f 1, ?1, 2 例5 设f x, y, z ?x2?y2?z2, 求grad f 1, ?1, 2 ? 解 grad f? fx, fy, fz ? 2x, 2y, 2z , ? 2, ?2, 4 ? 例 4 求 2 2 1 y x + grad . 三 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f M , 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F M , 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. 一个数量场可用一个数量函数f M 来确定. 一个向量场可用一个向量函数F M 来确定, 而 F M ?P M i?Q M j?R M k, 其中P M , Q M , R M 是点M的数量函数.