第十篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docVIP

第十篇 计数原理 第1讲 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 (　　)． A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 解析　分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C. 答案　C 2．(2013·琼海模拟)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是(　　)． A．210 B．420 C．56 D．22 解析　由分类加法计数原理：两类配餐方法和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为：Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,7)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,7)＝210. 答案　A 3．(2013·海口模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团．且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 (　　)． A．72 B．108 C．180 D．216 解析　设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况： (1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有Ceq \o\al(1,4)种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种方法， 故共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种参加方法； (2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有Ceq \o\al(2,4)种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有Aeq \o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种参加方法； 综合(1)(2)，共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)＋Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)＝180种参加方法． 答案　C 4．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　)． A．60 B．48 C．36 D．24 解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B. 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2013·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)． 解析　因为直线过原点，所以C＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为Aeq \o\al(2,6)＝30. 答案　30 6．数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种． 解析　必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法． 答案　12 三、解答题(共25分) 7．(12分)如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中 (1)共有多少个三角形？ (2)共有多少个平行四边形？ 解　(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形． (