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数学趣题 1．牛郎和织女 牛郎星离地球 16．5 光年，也就是以光的速度运行到地球要 16．5 光年。 织女星离地球 26．5 光年。如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶 到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才见到织女？而见一面之后，织 女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？ 答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进。因此， 牛郎比织女先到地球 10 年，牛郎需要等 10 年才见到织女。 织女匆匆赶回，如果马上又出发的话，来回需 53 年。牛郎要等 53 年才 能与织女第二次相见。如果牛郎也返回自己的星座，那么除了路上的时间不 算在内，牛郎也要坐等 20 年才能与织女第二次相聚。 2．百羊问题 百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。 这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。 有一个过路人牵着 1 只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶来的这 群羊大概有 100 只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原 来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4 ，连你牵着的这只肥羊也算进去， 才刚好凑满 100 只。”谁能知道牧关人放牧的这群羊一共有几只？ 根据题意，我们可设这群羊共有 x 只，则 x+ x+ 1/2x +1/4 x+1= 100 解这个方程得 x＝36，也就是牧羊人放牧的这群羊共有 36 只。 3．幻方与数阵 将 1～9 这 9 个数字填在图 A 中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和 两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45 。而 ①＋②＋③＋ ④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＝45，因此，①＋②＋③＝④＋⑤＋⑥＝⑦＋⑧＋⑨＝幻 和，那 么应该有：幻和×3＝45，幻和＝45÷3＝15。又，①＋⑤＋⑨＋③＋⑤＋⑦＋④＋ ⑤＋ ⑥＋②＋⑤＋⑧＝15×4＝60，也就是①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋3× ⑤＝60，所 以，45＋3×⑤＝60，⑤＝5，即 中间的数应当为 5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①＋⑨＝10， 所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是 奇数。因此共有 6 个奇数，又因 1～9 只有 5 个奇数，发生矛盾。当④、⑦同 偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有 5 个偶数，也与 1～9 只有 4 个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨＝ ③＋⑦＝10，于是就得到所求解。如左图。 4．龟和鹤 龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起 了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的 5 倍。 它们年龄之和如果乘上 3，等于 900 岁。如果再过 10 年，鹤族年龄的 5 倍加 上龟族的年龄也是 900 岁。问现在它们的年龄各是多少？ 解答：设鹤子现在的年龄是 x，龟孙现在的年龄是 y。则鹤爹现年为 2x， 龟祖现年 5y，有方程： 3［（2x＋x）＋（5y＋y）］＝900 10 年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为 x＋10 和 2x＋10，龟孙、龟祖的年龄 分别为 y＋10 和 5y＋10，于是又有方程， 5［（x＋10）＋（2x＋10）］＋（y＋10）＋（5y＋10）＝900 联立两个方程，简化为： 5x+2y x+2y =100 = 260 解得： y x = 40 = 30 因此，鹤子现年 40 岁，鹤爹现年 80 岁，龟孙现年 30 岁，龟祖现年 150 岁。 两支蜡烛 停电时分，小曹点起了两支蜡烛。这两支蜡烛一般长，可不一般粗。粗 蜡烛可点 2 小时，细蜡烛可点 1 小时。来电以后，小曹吹灭了两支蜡烛，发 现粗蜡烛是细蜡烛长度的 2 倍。问停电时间有多少分钟？ 解答：设停电时间为 x 小时。 粗蜡烛2小时点完，1小时可点1/ 2根，x小时可点去 根，还剩1 x x 2 2 根（即它剩下的长度）。 细蜡烛 1 小时点完，1 小时可点 1 整根，x 小时可点去 x 根（x 不到 1 根），还剩下的长度为 1-x。 x 于是：1- = 2（1-x） 2 解方程，得 x＝2／3 小时＝40 分钟 因此，停电时间为 40 分钟。 5．转让摩托车 甲花了 8000 元买了一辆摩托车，两年后，他转让给乙，要乙交付 9000 元。乙很不满意：“都用了两年了，还长了 1000 元，真不应该。”甲道出了 苦衷：“其实，我还亏了本了呢！你想，我要交税牌的钱，两年来还要修车， 花了不少钱呢！告诉你吧！我亏的本正好是 1／6 的卖价加上 1／3 的交税和修 车费。”你想想，甲亏卖了多少钱？ 解答：设交税和修车一共用 x 元 9000 x + = (8000