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常微分方程初值问题的数值解法 ;引言
;-----------(3);定理 只要 f (x, y) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使
对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则初值问题（1）存在唯一解。;常微分方程数值解公式的推导;1、泰勒展开的求解思路：;2、化导数为差商的求解方法思路：;3、数值积分的求解思路：;以上三种方法推导出同一个数值求解公式:;§7.1 欧拉方法;; 在假设 yk = y(xk)，即第 k 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Rk = y(xk+1) ? yk+1 称为局部截断误差 。;2、隐式欧拉格式;二、两步欧拉格式（中点公式）;三、 梯形公式;梯形格式算法计算步骤：;四、改进欧拉法（预报-校正法）;;举例：;x;欧拉方法的几何意义;§7.2 龙格 - 库塔法;;推广;三、 二阶龙格 - 库塔法;首先希望能确定系数 ?1、?2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得 ;Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较;其中?i ( i = 1, …, m )，?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i?1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。其解不唯一。;四阶经典龙格-库塔法公式;注：
? 龙格-库塔法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：;§4 收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */;? 稳定性 /* Stability */;定义;例：考察显式欧拉法;例：隐式龙格-库塔法;要求熟练掌握的内容：
欧拉格式、隐式欧拉格式、梯形格式和改进欧拉格式的基本公式，计算步骤，算法；
运用经典龙格－库塔法求常微分方程数值解。
要求掌握的内容：
龙格－库塔法的基本思想，计算格式的导出；
单步法局部截断误差及阶的定义和计算。;考试;上机
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