第4章静态场边值问题的解法技巧.ppt

第四章 静态场边值问题的解法;? 静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方程。给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一点解。三类给定边值：;4.1.1直角坐标系中的分离变量法 定解问题 一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝?0。求槽内电位分布。 ;问题转化为如下定解问题 ;只有当左右两边都是常数时，上式才成立，令此常数为－?。 将偏微分方程转化为两个常微分方程。 ;? ;分三种情况讨论。;代入边界条件同样得： A＝B＝0。X(x)无非零解。 ?不能等于零。 ;? ? ? ;2．再解Y（y）;由于方程是线性的，可应用叠加原理， 将所有特解叠加 ;在上两式两边分别乘 并作积分。;无穷级数解满足原定解条件。通常取4项就能得到足够精确的结果。 ;分离变量法的主要步骤： （1）分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题（线性齐次偏微分方程）。 （2）确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时，利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解。 （3）求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解Un（x，y）。 （4）将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。 ;教材例4.1.1 求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除z＝c面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Z＝c表面上给定的电位函数为U（x，y）。 ;有二个独立的本征值。边界条件可分解为： ;利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。 ;满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为;为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加。 ;将U（x，y）展开成双重傅立叶级数 ;原定解问题的解是 ;4.1.2圆域内的二维场问题 设在一圆形场域D内电位函数?满足拉普拉斯方程，场域边界L上给定为第一类边值，求此二维场中位函数?的分布。 解：选取柱坐标，待求的边值问题为 ;? ?;(2) 当?=0， 代入自然周期条件， D1=0, D2＝常数＝a0’,;即：;当?＝n2，n＝1，2，…….;再利用边界条件?=f(s)及其他自然边界条件，即可定出其中的各常数。 ;解： 当长圆柱轴向长度远大于横截面半径时，其中间段场的分析可简化为二维场问题。采用柱坐标，柱内和柱外电位函数?1和?2分别满足泊松方程。 ;外电场可用电位函数表示： ?0＝－E0x=-E0rcos? 在无限远处介质圆柱体产生的影响应当消失。 ?2＝－E0rcos? （r??） 边界处;利用边界条件可定出各系数。 ;n只能取1。否则，可导致另外与x轴斜交的零等位线。 ;?1＝0，(r=0),得b1＝0。 ;从 ;圆柱内场强均匀分布，且与外场方向一致。 ;4.1.3球坐标中的分离变量法;令?＝n(n+1),（任一实数总可写成这种形式）。;即在球坐标下，电位?的解为 ;其中;? ? ? ;r=0时，?2有界。;r=0时，?2有界, Rn（r）有界，;，且A1＝－E0。 ;可解出 ;例4.2.2已知半径为r＝1的球形域内的电位u满足拉普拉斯方程，求u的分布，其中在边界球面上 ;只有当n＝整数，方程在 内才有有界的解 ;用叠加原理;比较系数： C0=1/3,C2=2/3,Cn=0(n?2) ;当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。 1．差分原理 设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增????x＝h，相应f(x)的增量为： ?f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分。 不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。 当h很小时，?f(x)?df(x). ;中心差分?f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2) ;2．以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。 设边值问题是;任一点x的电位;边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。 ;解出关于?1，?2….. ?9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。 ;计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。;如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：;超松弛法 简单迭代法收敛慢。 超松弛法的改进： ;加速解的收敛。??2时，迭代过程将发散。 ;一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝100。求槽内电位分布。 ;;迭代次数N分别为1，2