边界层运动微分方程详解.pptxVIP

2.9边界层运动微分方程本节将以平壁层流为例，建立边界层运动微分方程，并根据布拉修斯相似原理讨论其分析解。2.9.1边界方程的推导普朗特充分运用了边界层很薄这一特性，通过分析N-S方程中各项数量级，并忽略高阶小量，大大简化了N-S方程，导出了边界层微分方程，成功地解决了边界层的定量计算。下面先让我们以x方向N-S方程为例，回忆一下N-S方程都有哪些项。惯性力体积力压力黏性力量级比较方程中的变量y限制在边界层之内，满足不等式0≦y≦δ。也就是说，y与δ为同一量级，记为：y≈δ。δ与x方向的距离相比要小很多，即是小量。符号≈表示数量级相同。下面估算（2-186）中各项的量级。在壁面上，ux=0；在边界层的外缘ux具有u0的量级，此处u0是主流速度（来流速度）。当y由0变到δ时，ux由0变到u0，所以有：2-187a2-187b量级比较1、假定流体沿x方向的直线边界流动并形成边界层，其厚度为δ。2、假定平板无限宽，流速在z方向无变化。3、在边界层流动中，重力的影响可忽略不计，即忽略体积力。则N-S方程可以简化为如下形式：2-186a2-186b量级比较同理，沿x方向有：由二维连续性方程，可得：2-188a2-1892-188b量级比较比较（2-187a）、（2-188a）和（2-189）可得：即：在壁面上uy=0,并根据边界层内uy的量级，从而得一下（2-191）式：2-1902-191c2-191b2-191a量级比较比较式（2-186a）中各项的量级，有：显然，方程中的与相比可以忽略，故式（2-186a）简化为：2-186a量级比较在边界层内，黏性力与惯性力应有相同量级，故两者之比应近似为1，即：由此可以得出：2-192惯性力黏性力压力2-1932-194量级比较式（2-194）表明，层流边界层厚度的量级大小等于或再分析式（2-186b）,其各项的量级如下：至此，（2-186）格式的量级已经写出，让我们对比来看看：2-186b2-1922-186b简化后的N-S方程量级比较惯性力压力黏性力量级比较惯性项和为同一量级，但不同于及的量级，两者相差倍，是一个小量；至于，一般可以认为具有惯性项的量级，即。于是，式（2-186b）左端三项均系小量，可以忽略。另一方面，与相比也可以忽略，故式（2-186b）就简化为：2-195量级比较式（2-195）表明，压力与y无关，只是x的函数。因此在y方向上，边界层内压力不变，等于边界层外缘处的压力。事实上，通过势流理论计算得到的边界层外缘处压力，与实验测得的物体表面的压力吻合，也可证明（2-195）式的正确性。此式颇为重要，据此可直接根据欧拉方程计算边界层外缘处压力，获得边界层中的压力。边界层方程经量级比较，式（2-186）的两个方程只留下一个，其中有两个未知数ux和uy，假定压力已经预先确定，再加上二维连续性方程对于稳态流动，，写成方程式（2-186）简化为：式（2-196）为普朗特边界层运动微分方程，适用于平壁稳态不可压缩流体流动。不适用与平壁前缘。2-196边界层条件边界层方程的边界条件是：根据布拉修斯原理可以求解边界层方程，得出ux(x,y),uy(x,y)和p(x,y),再按牛顿黏性定律，就可以得出边壁上的剪应力和摩擦阻力。2-198b2-198a边界条件2.9.2边界层方程的精确解——布拉修斯相似原理图2-33为平壁边界层流动示意图，边界层外主体流速为u0，图中示出了相距∆x的两截面的速度分布曲线，前已诉及，边界层中的压力p与y无关，故p1=p2,p3=p4。因点2和4均处于边界层以外，故p2和p4的关系符合伯努利方程：2-199边界层方程的精确解式中，u2和u4分别为点2和点4处的速度，显然有：将式（2-200）带入式（2-199）得：由此可得：2-2002-201a2-201b边界层方程的精确解式（2-201）表明，在边界层内，压力不随x而变，即：故普朗特边界层方程最终可以简化为：2-2022-203边界层方程的精确解由于δ随x而逐渐变大，每一个x处都存在相应的速度分布曲线，且具有共同特征：壁面速度为零，边界层外缘速度为u0。也就是说它们是相似的。布拉修斯首先观察到这一特征，并假设在距平壁前缘不同的x距离处，速度分布的形状是相似的，即：该式即为布拉修斯相似原理的数学式。∽2-204边界层方程的精确解将式（2-194）代入（2-204）可得：式（2-205）右侧的量为x和y的函数，可用ƞ(x,y)表示，即：由上诉两式可知，和ƞ(x,y)相似，即存在某种函数关系：∽2-2052-206边界层方程的精确解故可得：或由此可见，通过引进量纲为一的变量ƞ，已使两个独立自变量x,y合二为一。考虑到流函数ѱ与两个因变量ux与uy有关，但ѱ是有量纲的，故还需寻找一个量纲为一的流函数将ux和uy统一起