成考高等数学(二)考点精解第二章一元函数微分学研讨.docVIP

第二章一元函数微分学 一、常见的考试知识点 1．导数与微分 (1)导数的概念及几何意义，用定义求函数在一点处的导数值． (2)曲线上一点的切线方程和法线方程． (3)导数的四则运算及复合函数的求导． (4)隐函数的求导及对数求导法． (5)高阶导数的求法． (6)微分法则． 2．洛必达法则及导数的应用 (1)用洛必达法则求各类不定式的极限． (2)用导数求函数的单调区间． (3)函数的极值、最值． (4)曲线的凹凸性、拐点及曲线的水平渐近线与铅直渐近线． (5)证明不等式． 3．试卷内容比例 本章内容约占试卷总分的30％，共计45分左右． 二、常用的解题方法与技巧 (一)导数与微分 1．导数的定义 2．导数的几何意义 3．可导与可微的关系 可微必定可导，反之也对，且 如果求微分dx可以先求出yˊ，再代入上式即可． 4．求导数的常见方法 (1)利用基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则． (2)利用复合函数链式法则，为了不遗漏每一个复合层次，可以由外到里一次求得一个层次的导数． (3)对隐函数求导时，只需将所给式子两端出现的y当作中间变量，两端分别关于x求导，整理并解出yˊ． (4)对数求导法，主要解决幂指函数求导与连乘除、乘幂形式的函数的求导问题． (二)导数的应用 1．利用导数判定函数? (x)单调性的通常步骤 (1)求出?(x)的定义域． (2)求出?ˊ(x)，令? ˊ(x)=0，求出(x)的所有驻点，并求出?(x)不可导的点． (3)判定上述两相邻点间? (x)的符号，其中? (x)0时名的取值范围即为? (x)单调递增的范围; ?ˊ(x)0时x的取值范围即为? (x)单调递减的范围． 2．利用导数判定函数f(x)极值的通常步骤 (1)求出?(x)的定义域． (2)求出?ˊ(x)，令?ˊ(x)=0，求出八?(x)的所有驻点，并求出定义域内?(x)不可导的点． (3)若f(x)在上述点的某邻域内可导，可以利用极值的第一充分条件判定上述点是否为极值点． (4)若在?(x)的驻点处?(x)二阶可导，且二阶导数易求，则可以利用极值的第二充分条件判定驻点是否为极值点． 3．利用导数求连续函数?(x)在区间[a，b]上的最大、最小值的通常步骤 (1)求出?(x)在(a，b)内所有的驻点(即?ˊ(x)=0的点)及不可导的点：x1,…,xk 4．利用???数判定曲线y=? (x)的凹凸性与拐点的通常步骤 (1)求出? (x)在(a，b)内二阶导数为0的点及二阶导数不存在的点． (2)判定?″(x)在上述点的两侧是否异号．若在x0两侧?″(x)异号，则点x0，? (x0))为曲线的拐点． 在?″(x)0的x取值范围内，曲线y=? (x)为凸的； 在?″(x)0的x取值范围内，曲线y=? (x)为凹的． 三、常见的考试题型与评析 (一)利用导数的定义求极限或求函数在某点的导数值本部分内容1994--2013年共考了8次，考到的概率为40％． 1．典型试题 (1)(0222) (2)(0303) ( )． A．0 B．1 C．2 D．4 (3)(0702) A．一2 B．0 C．2 D．4 (4)(0802) A．0 B．1 C．3 D．6 2．解题方法与评析 【解析】函数y=? (x)在点X0处导数的定义，其结构式为 x0处的导数．如果不符合上式结构，则应通过变形或化简后变成上式结构才成立． (1) (2)选D． (3)选D．方法同(1)． (4)选C．方法同(1)． (二)利用四则运算法则求函数的导数(微分)或求函数在某点的导数值 本部分内容1994--2013年共考了20次，属于必考题． 1．典型试题 (1)(0210) (2)(0310) (3)(0419) (4)(0522) (5)(0622) (6)(0705) A． B． C． D． (7)(0822) (8)(0903) A．0 B．1 C．e D．2e (9)(1022) (10)(1122) (11)(1203) A．-1 B．-1/2 C．0 D．1 (12)(1302) A． B． C．1/3 D． 2．解题方法与评析 【解析】这些题都可以利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则来计算． (1) (2)填1． (3) (4) (5) (6)选C． (7) (8)选C．因为 (9)因为 所以 (10) (11)选A． (12)选A． 【评析】这些试题都是考试大纲要求熟练掌握的基本运算，因此希望考生一定要牢记基本初等函数的导数公式及四则运算法则． 对其他求微分的试题，考生可自行练习． (三)复合函数的求导 本部分内容1994—2013年共考了18次，考到的概率为90％。 1．典型试题 (1)(0217) (2)(0318) (3)(0418) (4)