中考卷之二次函数最值研究.docx

1如图，抛物线y?(x?3)2?1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了. （1）求点A，B，D的坐标； （2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO?∠ADC；[来源:学科网] （3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标. 【答案】（1）顶点D的坐标为（3，?1）. 令y?0，得(x?3)2?1?0， 解得x1?3?，x2?3?. ∵点A在点B的左侧， ∴A点坐标(3?，0)，B点坐标（3?，0）. （2）过D作DG⊥y轴，垂足为G. 则G（0，?1），GD?3. 令x?0，则y?，∴C点坐标为（0，）. ∴GC??(?1)?. 设对称轴交x轴于点M. ∵OE⊥CD， ∴∠GCD?∠COH?90?. ∵∠MOE?∠COH?90?， ∴∠MOE?∠GCD. 又∵∠CGD?∠OMN?90?， ∴△DCG∽△EOM.[来源:学科网ZXXK] ∴. ∴EM?2，即点E坐标为(3，2)，ED?3. 由勾股定理，得AE2?6，AD2?3， ∴AE2?AD2?6?3?9?ED2. ∴△AED是直角三角形，即∠DAE?90?. 设AE交CD于点F. ∴∠ADC?∠AFD?90?. 又∵∠AEO?∠HFE?90?， ∴∠AFD?∠HFE， ∴∠AEO?∠ADC. （3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2?EP2?1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小. 设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2?(x?3)2?(y?2)2. ∵y?(x?3)2?1， ∴(x?3)2?2y?2. ∴EP2?2y?2?y2?4y?4 ?(y?1)2?5. 当y?1时，EP2最小值为5. 把y?1代入y?(x?3)2?1，得(x?3)2?1?1， 解得x1?1，x2?5. 又∵点P在对称轴右侧的抛物线上， ∴x1?1舍去. ∴点P坐标为(5，1). 此时Q点坐标为（3，1）或(). 2（2014江苏省常州市，27，10分）在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于点A,B（点B在点A的左侧）,与轴交于点C.过动点H（0, ）作平行于轴的直线,直线与二次函数的图像相交于点D,E. （1）写出点A,点B的坐标; （2）若,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与轴相切时,求的值; （3）直线上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解：（1）当=0时，有，解之得：，，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）. （2）∵⊙Q与轴相切，且与交于D、E两点， ∴圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标（） ∵抛物线的对称轴为， ∴D、E两点的坐标分别为：（－，），（＋，）且均在二次函数的图像上， ∵，解得或（不合题意，舍去） （3）存在.[来源:Z|xx|k.Com] ①当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°， ∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4， ∵CO=2，∴=OG=2+4=6； ②当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥轴于P，∴∠AOC=∠APF=90°， ∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4， ∴=FP =4； ③当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时=3或=1 3（12分）（2014?连云港）已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）． （1）求此二次函数关系式； （2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由． （3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OG∥BE． 考点：二次函数综合题．.分析：（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解，即可求得此二次函数关系式； （2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，需要分类讨论，避免漏解： ①若CD为平行四边形的对角线，如答图2﹣1所示； ②若CD为平行四边形的边，如答图2﹣2所示； （3）首先过点E作EH⊥x