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第七章 非线性系统分析 介绍：典型非线性特性、相平面法、描述函数法 介绍两个方法：相平面法、描述函数法 相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。 可见相迹为斜 直线 km- A C 例2：引入测速反馈： 开关线发生偏移，角度与反馈系数有关， 事实上进入切换时间提前,动态响应加快。 C 例3：继电特性 y km -km C A 描述函数法是达尼尔 P.J.Daniel 于1940年 提出的,它是线性系统频率法在非线性系统中 的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法， 它要求系统具有良好的低通特性并且非线性 较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。 §7-7描述函数法 * * 内容提要 控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。 §7-1引言 1．线性系统与非线性系统区别： 2．非线性特性（典型） 1）死区 2 饱和 3）滞环 -M M k +a y x y x 4）继电 y M·Signx ? a ma y x 几种典型的继电特性 间隙特性 §7-2 相平面及相平面的概念 m ?m 将m 人为 移到某位置x0 松手后m的运动过程： 时刻t 位移x 速度 t0 x0 0 t1 0 负最大 t2 x2 0 t3 0 正最大 考查位置x和速度构成的平面（x－平面） 初始点一定时：形成曲线称为相轨迹 可得： 不同初始点，相轨迹将布满平面 利用x- 平面分析系统的方称为相平面法， 相平面法只适用于，一.二阶系统。? §7-3 相轨迹的绘制 工程上有二种方法： 只介绍图解法中等倾线法 等倾线法：设二阶系统 可得： 以x－ 为平面， 为相平面上的斜率，可令 则 。称为等倾线方程 具体绘制步骤： 令 则 为 方程，对一定的 ，可在x－ 平面上画出相应的曲线此为等倾线。 此曲线的特点是：当相轨迹通过该曲线时，其斜率相同。 1．? 2 取 不同值，可在相平面上绘出不同曲线（等倾线）。 2． 3 由初值可得到相轨迹上的一个初始点。 4 从该点出发，按该点所在等倾线斜率所指方向划一小 线数，直到与其相邻另外等倾线相交。 ． 5 其与第二条等倾线交于一点，再从该点出发重复步骤4，得到曲线为相轨迹 例： X α 9 2 1 0 –0.4 …… -1/1+α -0.1 -0.33 -0.5 -1 -1.67 …… 例2：如图示系统（继电系统） 考查 解： 区域由 分界，称为开关线。 利用 §7-4 奇点及极限环 奇点概念：相轨迹上满足 不定式的特殊点，称为奇点。 在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于平衡状态 一 奇点分类： 线性系统 有奇点： （0，0） （原点为奇点） 1． （一对虚根） 为一簇封闭曲线包围奇点（0，0）称奇点为中心点。 2． （一对负实部共轭根） 相轨迹为一簇螺线，包围奇点（0，0）称为稳定焦点 3． （一对负实根） 为一簇抛物线包围奇点（0，0）称为稳定节点 X 4． 对应奇点（0，0）为不稳定焦点 5． 奇点（0，0）为不稳定节点 6．? 有异号实根，称奇点（0，0）为鞍点。 X 可见：方程特征根位置决定奇点的类型。 如奇点构成曲线称为奇线，极限环就是常见奇线。 二 极限环 非线性系统的相轨迹有时出现一种特别情况，即相轨迹上出现孤立的封闭曲线，称这种特殊相轨迹为极限环。 极限环的几种情况： 无论初值落在环内外相轨迹 的运动朝环逼近，称为稳定 极限环 x x 不稳定极限环 稳定极限环为 非线性系统的一种特殊现象称为自激振荡 称为半稳定极限环 x x 三 一般奇点确定 对一般系统 设： 令 考查其奇点类型 （0，0）为稳定焦点 例： §7-6 相平面分析 例1：继电型系统 m a 试绘制 平面上的相轨迹。