大学微积分1.5剖析.ppt

§ 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数 一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 三、初等函数 《微积分》 (第三版) 电子教案 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 电子教案 首页 上一页 下一页 结束 一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 下列函数称为基本初等函数? 常数? y?c? 幂函数? y?xa (a为任何实数)? 指数函数? y?ax(a?0? a?1)? 对数函数? y?loga x (a?0? a?1)? 三角函数? y?sin x? y?cos x? y?tan x? y?cot x? y?sec x? y?csc x? 反三角函数? y?arcsin x? y?arccos x? y?arctan x? y?arccot x? y?arcsec x? y?arccsc x? 1? 常数? y?c? 它的定义域是(??, ??)? 图形为平行于x轴截距为c的直线? 1? 常数? y?c? 它的定义域是(??? ??)? 图形为平行于x轴截距为c的直线? 2? 幂函数? y?xa (a为任何实数)? 1? 常数? y?c? 它的定义域是(??? ??)? 图形为平行于x轴截距为c的直线? 2? 幂函数? y?xa (a为任何实数)? 常用的幂函数有? 1? 常数? y?c? 它的定义域是(??? ??)? 图形为平行于x轴截距为c的直线? 2? 幂函数? y?xa (a为任何实数)? 常用的幂函数公式有? 3? 指数函数? y?ax(a?0? a ?1),特例y=ex? 它的定义域为(??? ??)? 值域为(0? ??)? 都通过(0? 1)点? 当a?1时? 函数单调增加? 当0?a?1时? 函数单调减少? 指数函数举例? 微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···，它为一个无限不循环小数. 例1.11 （复利计算公式）设初始本金为A0元，年利率为r，第一年末所得利息为A0r，若本利和用S1表示，则 将本利和S1再存入银行，第二年末的本利和为 再把本利和存入银行，如此反复，第t年末的本利和 这里St为变量t的指数函数. 下面我们举一个指数函数在经济学中应用的例子 4? 对数函数? y?logax(a?0? a ?1)，特例y=lnx? 它的定义域为(0? ??)? 都通过(1? 0)点? 当a?1时? 函数单调增加? 当0?a?1时? 函数单调减少? 对数函数与指数函数互为反函数? 指数函数举例? 常用公式? 例1.12 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x(年)的关系为y=alog3(2x+1)，若该动物引入一年后的数量为50只，则第13年它们发展到多少只？ 5? 三角函数? 三角函数有 y?sin x? y?cos x? y?tan x? y?cot x? y?sec x? y?csc x? y?sin x与y?cos x的定义域均为(??, ??)? 均以2?为周期? 因为sin(?x)??sin x? 所以y?sin x为奇函数? 因为cos(?x)?cos x? 所以y?cos x为偶函数? 又因|sin x|?1? |cos x|?1所以它们都是有界函数? y?tan x以?为周期? 是奇函数? 注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表示. 常用的三角函数公式： （2）平方关系 (3）两角和公式 (1)商的关系 （5）降幂公式 (4)倍角公式 6? 反三角函数? 常用的反三角函数有y?arcsinx? y?arccosx? y?arctanx ,y=arccotx. 三角函数y?sin x? y?cos x? y?tanx,y=cotx的反函数分别记作 y?Arcsin x? y?Arccos x? y?Arctan