6矢量：旋度、散度、梯度课程.pptVIP

球坐标中矢量A的散度和旋度 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离rl处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解 ： 例 1 .7 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 §1 .6 亥姆霍兹定理 二. 矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 1) 调和场 若矢量场F在某区域V内，处处有：??F=0和??F=0 则在该区域V内，场F为调和场。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场 如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即 函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。 无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即 这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。 标量位u的积分表达式： 2) 有源无旋场 由 ，有 函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。 无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即 4) 有源有旋场 一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即 如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即 3)无源有旋场 可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi 的叠加，即 其中Fs和Fi分别满足 于是 因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得 常用的矢量恒等式 * 首先把A移到后面，得到B（C? A ），再把B移到后面，得到C （ A ?B ） * 通量描述的是一定范围内的源与净通量之间的关系，而不能反映场域内的源分布情况。为了研究矢量场中每一点处的场与源之间关系，需要引入矢量场的散度的概念。 * 无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。 4、旋度运算规则: 在直角坐标系中有 任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。 任何旋度场一定是无散场 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）； 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 4、旋度与散度的区别： 因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即 此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。 1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokes’s theorem 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。 例 解： 可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因 证明下述矢量斯托克斯定理： 式中S为包围体积V的封闭面。 [证] 设C为一任意常矢，则 从而有 （1-37） 例1 .4 根据散度定理，上式左边等于 于是得 由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ 沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关, 设 方向导数 一、方向导数与梯度 梯度 gradient 是一个矢量 ??的模就是??在给定点的最大方向导数 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即??的变化率最大的方向。 梯度运算规则: 2、梯度的