常微分方程初值问题的数值解法剖析.ppt

欧拉方法的几何意义 考试 10月19日（周日）：下午2:30-4:30 成绩（过程考核20%+期末考试80%） 20分左右简答，60分左右计算 解非线性方程，解方程组（列主元素消去和LU分解），插值，拟合，积分，常微分方程的数值解法（欧拉法，龙格库塔法） 上机 公共邮箱shuzhi_2014@163.com 密码 shuzhi2014 上机时间和地点、题目和要求 两批（上午一批，下午一批） 第一次上机时间：第九周的周六和周日 四阶经典龙格-库塔法公式 四、 四阶龙格 - 库塔法 用四个f函数值的线性组合得到四阶龙格 - 库塔法。 经典龙格-库塔法公式具有四阶精度，因此可取大步长。 注： ? 龙格-库塔法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系： 7 5 3 可达到的最高精度 6 4 2 每步须算Ki 的个数 ?高于四阶时每步计算量增加较多，但精度提高不快，因此使用的比较少。 ?由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。 §4 收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */ ? 收敛性 /* Convergency */ 定义 　　　 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h?0 ( 同时 i ? ?) 时有 yi ? y( xi )，则称该算法是收敛的。 例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 解：该问题的精确解为 欧拉公式为 对任意固定的 x = xi = i h ，有 ? ? ? 稳定性 /* Stability */ 例：考察初值问题 在区间[0, 0.5]上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 精确解 改进欧拉法 欧拉隐式 欧拉显式 节点 xi 1.0000 ?2.0000 4.0000 ?8.0000 1.6000?101 ?3.2000?101 1.0000 2.5000?10?1 6.2500?10?2 1.5625?10?2 3.9063?10?3 9.7656?10?4 1.0000 2.5000 6.2500 1.5626?101 3.9063?101 9.7656?101 1.0000 4.9787?10?2 2.4788?10?3 1.2341?10?4 6.1442?10?6 3.0590?10?7 定义 　　　若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的 /*absolutely stable */。 一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */ 常数，可以是复数 当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定， 的全体构成绝对稳定区域。我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。 h l h = h 例：考察显式欧拉法 由此可见，要保证初始误差?0 以后逐步衰减， 必须满足： 0 - 1 - 2 Re Img 例：考察隐式欧拉法 可见绝对稳定区域为： 2 1 0 Re Img 注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。 例：隐式龙格-库塔法 而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定区域为 其中2阶方法 的绝对稳定区域为 0 Re Img k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 - 1 - 2 - 3 - - - 1 2 3 Re Img 无条件稳定 要求熟练掌握的内容： 欧拉格式、隐式欧拉格式、梯形格式和改进欧拉格式的基本公式，计算步骤，算法； 运用经典龙格－库塔法求常微分方程数值解。 要求掌握的内容： 龙格－库塔法的基本思想，计算格式的导出； 单步法局部截断误差及阶的定义和计算。 本章要求 本章要求 常微分方程初值问题的数值解法 第7章 引言 在实际问题中，常需要求解微分方程(如发电机转子运动方程)。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。 常微分方程： -----------(1) -----------(2) 一阶常微分方程 -----------(