2006——2007学年第二学期数学分析试题A.docVIP

2006——2007学年第二学期数学分析试题A （0601，0602，0603） 一：填空（20分） 1. 必要 2. 两， 1、-1 3. 1、0 4. 0 5. 不同时为0 6. 7. 8. 充要 9. 二：判断（16分） 三：计算下列各题（15分） 四：解下列各题（28分） 对于级数，当时， （4分） ， （6分） 由比式判别法知该级数收敛，由级数收敛的必要条件知 （7分） 这里的和式是函数在区间上的一个积分和，于是有 4 解：为方便起见。取轴和轴如图， 此时圆的方程为 （3分） 由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重与深度到这一狭条上所受的静压力为 （6分） 从而闸门上所受的总压力为 （7分） 五：证明（21分） 1、时条件收敛.(7分) 证明 ：当时条件收敛，这是因为对任意，有，而当时单调趋于，故由狄利克雷判别法知总是收敛的. (4分) 另一方面,由于其中 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而是发散的,因此当时该无穷积分不是绝对收敛的,所以它是条件收敛的. (7分) 2、设与都在上可积，证明在也可积.(7分) 证明 :由于与都在上可积,故在上也可积,由此在上可积,又 　　　　　　　　　　　　　(6分) 且可积函数的和、差、数乘及复合函数仍可积，所以在上均可积(７分) 3、证明若级数的收敛半径为,且在时收敛,则级数在上一致收敛. (7分) 证明：级数在时收敛，对于有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分) 已知级数收敛，函数列在上递减且一致有界，即 故由阿贝尔判别法知在上一致收敛.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)