广义变分原理浅析.ppt

8-1 最小余能变分原理 8-2 广义变分原理 8-3 加权残值法 8-4 有限差分法简介 8-5 边界单元法简介 8-6 无网格方法研讨 8-1 虚应力原理 外力虚功= 分别为体积力和面力 应力边界条件： 散度定理： =内部虚功 充分性证明： 弹性体在一组静力协调的外力作用下，对任意一组协调的变形场，满足静力平衡的充要条件是外力虚功等于内力虚功。 平衡方程： 必要性证明： 由 的任意性得： （平衡方程）， （边界平衡方程） 外力虚功= =内部虚功 1-9 最小势能变分原理: 变分原理： （a）变分原理是有限元和弹性力学方程之间的桥梁 （b）几个相关名词： 泛函：（集合的函数，函数的函数）； 变分：泛函的求导； 变分原理：对泛函求驻值方程的过程； 欧拉方程：驻值方程。 弹性力学中的最小势能原理的泛函可以通过等效积分得到。这种变分原理称为自然变分原理。 最小势能变分原理: 应变能密度因子（单位体积应变能） ， 为总体积应变能。 为总外力势能 为总势能，作为最小势能变分原理的泛函 最小势能变分原理： 即： 上式为欧拉方程，可推出平衡方程和柯西方程： 见虚功原理的必要性证明 最小势能变分原理表明: 在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的所有可能位移中， 真实位移使系统的总势能取驻值。 矩阵表达为： 弹性力学问题中存在着和微分方程及边界条件不同的但却是等价的表达形式： 即，弹性力学的三类方程及其边界条件是微分方程(组) 在变分原理表达中，问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛函取驻值的未知函数。 变分原理就是表达弹性力学问题的积分表达形式。 微分表达 积分表达 泛函: 取驻值: 未知函数: 最小势能变分原理的说明 这两种表达形式是等价的， 假如能够找到问题相应的变分原理，那么就可以建立求得近似解的标准过程。 一方面，满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值， 另一方面，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方程和边界条件的解答。 8-1 虚应力原理的弹性力学一般表达