高等数学(微积分)--§92一阶微分方程课程.pptx

1 9.2一阶微分方程 最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。 2 一、可分离变量方程 分离变量方程： 可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程 解法 分离变量法 为微分方程的解. 3 例题讲解 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 4 例题讲解 例2 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 5 例题讲解 例3 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 6 例题讲解 例4 *求解微分方程 解 分离变量 两端积分 7 例题讲解 例5 商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____? 解 分离变量 两端积分 8 课堂练习 解 9 课堂练习 10 课堂练习答案 解 11 课堂练习答案 解 12 二、齐次微分方程 的微分方程称为齐次方程. 解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程 解齐次方程的基本方法：变量变换法 具体解法： 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 13 齐次微分方程的解 粉嫩公主酒酿蛋/65/2016-03-11/7447.html 嵲吘莒 15 例题讲解 例：求齐次微分方程 16 例题讲解（续） 分离变量方程： 17 例题讲解 例： 18 例题讲解 例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成本函数C＝C(x)? 19 例题讲解(续) 20 例题讲解 例：求解微分方程 解 微分方程的解为 21 课堂练习 解 22 课堂练习 解 23 课堂练习 解 24 *可化为齐次方程的微分方程 25 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 26 一阶线性微分方程的解法 (1) 线性齐次方程 (使用分离变量法) 齐次方程的通解为 27 解法 (2) 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 28 常数变易法 常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质 未知函数的变量代换 作变换 积分得 29 常数变易法(续) 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 30 例题讲解 例： 解 31 例题讲解 例： 解 32 例题讲解(x为因变量) 例：求方程2ydx-(x+y4)dy=0的通解，以及满足条件y(0)=1的特解。 33 课堂练习 解 34 课堂练习 解 35 *伯努力(Bernouli)方程