第1章矢量(x4-48)汇编.ppt

第1章 矢量分析 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 第1章 矢量分析 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散度 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1.1 矢量代数 1.1.1 标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 1.1 矢量代数 1.1.1 标量和矢量 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 1.1 矢量代数 1.1.1 标量和矢量 一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。 单位矢量 的表示（代数） （1-1-1） 矢量A的表示（代数） （1-1-2） 其中， A是矢量A的大小; 一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）， 一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。 1.1.2 矢量的加法和减法 任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加， 它们的和仍然为矢量， 服从交换律和结合律 A+B=B+A （交换律） (A+B)+C=A+(B+C) （结合律） 1.1.2 矢量的加法和减法 任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相加， 即 A-B=A+(-B) 1.1.3 矢量的乘法 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1） 标量积 ?任意两个矢量A与B的标量积(Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积， 记为 A·B=AB cosθ 标积服从交换律和分配律 A·B=B·A （交换律） A·(B+C)=A·B+A·C （结合律） 2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量， 矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积， 其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 记为 C=A×B=anAB sinθ ? an=aA×aB （右手螺旋） 矢量积又称为叉积(Cross Product)， 如果两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行， 或者说， 两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即 A×B=-B×A （同学课堂证明！） ? A×(B+C)=A×B+A×C （分配律） （同学课后证明！） 标量三重积，有如下性质 A·(B×C)=B·(C×A)=C·( A×B) （同学课后证明！） ? 矢量三重积，有如下性质 A×(B×C)=B(A·C)-C ( A·B) （同学课后证明！） 1.2 三种常用的正交系 1.2.1 直角坐标系