复变函数5-2留数课程.pptVIP

第二节 留 数 一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考 * 一、留数的引入 设 为 的一个孤立奇点; 内的洛朗级数: 在 . 的某去心邻域 邻域内包含 的任一条正向简单闭曲线 * 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) * 定义 记作 的一个孤立奇点, 则沿 内包含 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分 的值除 后所得的数称为 以 如果 * 二、利用留数求积分 说明: 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数. 1.留数定理 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 函数 * 证 [证毕] 两边同时除以 ，得 . . . 如图 * 2.留数的计算方法 (1) 如果 为 的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末 规则1 成洛朗级数求 (2) 如果 为 的本性奇点, (3) 如果 为 的极点, 则有如下计算规则 展开 则需将 * 如果 为 的 级极点, 规则2 证 那末 * +(含有 正幂的项) 两边求 阶导数, [证毕] 得 * 规则3 如果 设 及 在 都解析， 证 的一级零点, 为 的一级极点. 为 那末 为 的一级极点, 且有 * 解析且 在 因此 其中 在 解析且 为 的一级极点, * 三、在无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向 说明 记作 1.定义 设函数 在圆环域 内解析， C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， * . . . . . . . 证 由留数定义有: (绕原点的并将 内部的正向简单闭曲线) 包含在 2.定理二 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. [证毕] * 说明: 由定理得 (留数定理) 计算积分 计算无穷远点的留数. 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数) * 3.在无穷远点处留数的计算 规则4 说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线 积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单. * 现取正向简单闭曲线C为半径足够大的 正向圆周 : 于是有 证 * 内除 在 外无其他奇点 . [证毕] * 四、典型例题 例1 求 在 的留数. 解 * 例2 求 在 的留数. 分析 是 的三级零点 由规则3得 计算较麻烦. * 如果利用洛朗展开式求 较方便: 解 * 说明: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 * 例3 求 在 的留数. 解 是 的四级极点. 在 内将 展成洛朗级数: * 例4 计算积分 C为正向圆周: 解 为一级极点, 为二级极点, * * 例5 计算积分 C为正向圆周: 函数 在 的外部, 除 点外没有 其他奇点. 解 根据定理 2与规则4: * 与以下解法作比较 : 被积函数 有四个一级极点 都 在圆周 的内部 , 所以 由规则3 * 可见, 利用无穷远点的留数更简单. 例6 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 其他奇点为 * 由于 与 1在C的内部, 则 所以